- •Министерство образования Российской Федерации
- •Остаток ряда.
- •Ряды с неотрицательными членами.
- •Интегральный признак Коши.
- •Признаки сравнения.
- •Признак Даламбера.
- •Радикальный признак Коши.
- •Признак Лейбница.
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •Равномерная сходимость функционального ряда.
- •Признак Вейерштрасса.
- •Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •Свойства степенных рядов.
- •Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.
- •Применение степенных рядов.
- •Свойства двойных интегралов.
- •Тройной интеграл.
- •Геометрический смысл двойного интеграла.
- •Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Рассмотрим телоV, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнениемz = f(x, y),проекциейD этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхно-стью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверх-ности с их проекциями.
z=f(x,y)
z
V
y • Pi D Рис.2.
Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔSi областиD, а высотами – отрезки длинойf(Pi), где точкиPi принадлежат ΔSi. Переходя к пределу при, получим, что
(7.12)
то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областьюD.
Лекция 8.
Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Рассмотрим областьD, ограниченную линиямиx = a, x = b (a < b), где φ1(х) и φ2(х) непрерывны на [a, b]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оуи проходящая через внутреннюю точку областиD, пересекает границу области в двух точках:N1иN2(рис.1). Назовем такую областьправильной в на-
у правлении оси Оу. Аналогично определя-
y=φ2(x) ется область, правильная в направлении
N2 оси Ох. Область, правильную в направле-
нии обеих координатных осей, будем на-
D зывать просто правильной. Например,
правильная область изображена на рис.1.
y=φ1(x)N1
O a b x
Рис.1
Пусть функция f(x, y)непрерывна в областиD. Рассмотрим выражение
, (8.1)
называемое двукратным интеграломот функцииf(x, y)по областиD. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменнойу, считаяхпостоянным. В результате получится непрерывная функция отх:
Полученную функцию проинтегрируем по хв пределах отадоb. В результате получим число
Докажем важное свойство двукратного интеграла.
Теорема 8.1. Если областьD, правильная в направлении Оу, разбита на две областиD1иD2прямой, параллельной оси Оуили оси Ох, то двукратный интеграл по областиD будет равен сумме таких же интегралов по областям D1иD2:
. (8.2)
Доказательство.
а) Пусть прямая х = с разбиваетD на D1и D2, правильные в направлении Оу. Тогда
+
+
б) Пусть прямая y = h разбиваетDна правильные в направлении Оуобласти D1и D2(рис.2). Обозначим черезM1(a1,h) иM2(b1,h) точки пересечения прямойy = h с гра-ницейLобластиD.
y ОбластьD1ограничена непрерывными линиями
y=φ2(x) 1) y = φ1(x);
D22) кривойА1М1М2В, уравнение которой запишем
h M1M2 y = φ1*(x), гдеφ1*(х) = φ2(х) приа≤ х ≤ а1и
A1D1Bb1≤ x ≤ b,φ1*(х) =hпри а1≤ х ≤ b1;
3) прямыми x = a,x = b.
Область D2ограничена линиямиy = φ1*(x),
A у = φ2(х), а1≤ х ≤ b1.
y=φ1(x) Применим к внутреннему интегралу теорему о
разбиении промежутка интегрирования:
O a a1 b1 b
Рис.2.
+
Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:
++.
Поскольку φ1*(х) = φ2(х) приа≤ х ≤ а1иb1≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,
ID = , то есть.
Следствие. Таким же образом можно разбить область Dна любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по областиDбудет равен сумме интегралов по частичным областям.
Замечание 1. Используя теорему 8.1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:
(8.3)
где тиМ– соответственно наименьшее и наибольшее значение функцииf(x, y) в областиD, а S – площадь этой области, и
ID = f(P)S, (8.4)
где Р– точка, принадлежащая областиD .
Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является
=(8.5)
Теорема 8.2. Двойной интеграл от непрерывной функцииf(x, y) по правильной областиD равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть
. (8.6)
Доказательство.
Разобьем область Dпрямыми, параллельными координатным осям, напправильных (в основном прямоугольных) областей ΔS1, ΔS2,…, ΔSn. Тогда по теореме 8.1
.
Из (8.4) получим: , где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу отfпо областиD, а слева – постоянное числоID. Переходя к пределу при, получим равенство (8.6).
Пример.
Вычислим двойной интеграл от функцииz = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).
у Здесьа = 0,b= 1,φ1(x) = 0, φ2(x) = 1 –x.
Тогда
1 D
O 1 x
Рис.3.