Вопросы в программу ГАК по специальности «Математическое моделирование» (дисциплина «Финансовая математика»)

1. Вероятностные основы моделирования финансового рынка

2. Математические модели индивидуального и коллективного риска. Биномиальная модель.

3. Математические модели страхования жизни

Рекомендации к ответам на вопросы.

Здесь приведен полный ответ на экзаменационный вопрос. Серым шрифтом выделена неосновная информация по вопросу которую, тем не менее, необходимо знать.

Вопрос 1. Вероятностные основы моделирования финансового рынка

В финансовой экономике принято оперировать понятием актива, относя к нему любую ценность. В зависимости от того, связано или нет владение тем или иным активом с риском, их множество разделяется на рисковые и безрисковые. Риск при этом понимается как та неопределенность в финансовых контрактах с активами, которая может привести к финансовым потерям. Емкими примерами таких активов являются акции и облигации (банковский счет) . Они образуют основу финансового рынка как пространства, снабженного соответствующей "торговой" инфраструктурой.

Пусть активы (безрисковый) и (рисковый) полностью определяются в любой момент времени своими ценами. Поэтому естественно считать базисной компонентой финансового рынка эволюцию цен и , которая осуществляется в соответствии с уравнениями

,

,

где

, ,

Относительно сразу будем говорить как о постоянной процентной ставке. Величины , определяющие эволюцию цен , уточним несколько позднее.

Ещё одной неотъемлемой компонентой финансового рынка является набор допустимых действий, или стратегий, которые можно производить с активами и .

Последовательность называется стратегией (портфелем), если для каждого величины и полностью определяются значениями цен . Это означает, что и являются функциями от : и . Их интерпретация – это количество единиц актива и соответственно.

С портфелем неразрывно связано понятие капитала портфеля:

,

где первая компонета показывает, сколько средств лежит на банковском счете, а вторая – сколько вложено в акции.

Если изменение капитала портфеля

происходит только за счет изменения цен банковского счета и акций

,

то портфель называется самофинансируемым ( ).

Модель эволюции цен и с классом называется -рынком, или финансовым рынком с базовыми активами и .

На этом рынке, где активы и играют роль основных ценных бумаг, можно формировать производные ценные бумаги.

Например, форвардный контракт на покупку акции в момент времени – это соглашение, регламентирующее одной стороне покупку этой акции, а другой – продажу по цене (цена поставки). Другой контракт – опцион покупателя – это соглашение, дающее право одной стороне на покупку акции по цене (цена исполнения), а другую обязывающее обеспечить продажу акции по цене в момент . В отличие от форвардного опционный контракт предполагает в момент заключения уплату премии.

Общая черта всех производных ценных бумаг – это их "распространенность в будущее" и "оттянутая в будущее выплата" . В первом случае , а во втором . Такие будущие платежи, которые можно отождествлять с производными ценными бумагами, будем называть платежными обязательствами.

Основной проблемой здесь является нахождение цены такого обязательства (или бумаги) в любой момент времени до истечения его срока действия. Ключевым элементом в этой проблеме является хеджирование платежных обязательств.

Портфель называется хеджем для , если при любом поведении рынка. Таких портфелей может быть много и важно выбрать хедж с наименьшим капиталом (минимальный хедж): для любого хеджа при любом развитии рынка (см. рис. 2.1.1):

Рис.2.1.1: Динамика капитала хеджирующих стратегий.

Ясно, что построение минимального хеджа открывает естественный путь решения проблемы цены платёжного обязательства как капитала минимального хеджа, а также управления риском с ним связанным.

Для этого потребуется некоторое уточнение понятия рискового актива в рассматриваемой модели финансового рынка, которое основывается на определенных понятиях из теории вероятностей и стохастического анализа.

Будем исходить из априорного понятия "эксперимент" с вполне определенным знанием его возможных исходов и незнанием того, какой из этих исходов произойдет до проведения эксперимента (случайность эксперимента).

Пример биржевых торгов. Есть знание возможных значений курса рубль/доллар и т. д., но до самих торгов неизвестно, какой же всё-таки будет курс.

Обозначим множество "элементарных" исходов через . Из них образовываются события (неэлементарные исходы), которые формируют множество событий , содержащее невозможное и достоверное события.

Далее, если , то повторение эксперимента раз фиксирует событие раз и соответственно частоту появления . Рассматривают только такие эксперименты, "случайность" которых обладает свойством статистической устойчивости, когда для любого события существует число такое, что при .

Указанное свойство называют статистической устойчивостью эксперимента, а определяемое этим свойством число – вероятностью события . Очевидны свойства вероятности , как функции на :

1. и ;

2. для .

Набор принято называть вероятностным пространством. Часто вместо события рассматривают его индикатор :

если

если

И ндикатор является важным и простым примером случайной величины , как функции от на этом пространстве, когда каждому значению сопоставляется вполне определенное действительное число . В зависимости от того, исчерпывается множество значений случайной величины числовой последовательностью или заполняет целые интервалы, случайную величину называют дискретной или непрерывной соответственно. В этих случаях естественной числовой характеристикой является среднее, или математическое ожидание:

где называется распределением, а неотрицательная функция – плотностью.

Формально обе формулы можно записать в виде

,

где называют функцией распределения.

Ясно, что в дискретном случае , а в непрерывном

.

Если – некоторая функция, то можно говорить о случайной величине . Для нее также определено математическое ожидание

соответственно,

если сумма или интеграл в правой части существуют.

В частности, для соответствующее математическое ожидание называется дисперсией :

Примеры распределений: