Уравнения, допускающие понижение порядка.
В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Рассмотрим несколько типов подобных уравнений.
-
Уравнение не содержит искомой функции и ее производных по порядок (k – 1) включительно:
.
(18.6)
В этом случае можно сделать замену р = у(k), которая позволяет понизить порядок уравнения до n – k, так как после замены уравнение примет вид
.
Из этого уравнения можно найти р = р (х, С1 , С2 ,…, Сn-k), а затем найти у с помощью интегрирования k раз функции р = р (х, С1 , С2 ,…, Сn-k).
Пример.
Уравнение
при замене
становится уравнением 1-го порядка
относительно р:
,
откуда
. Тогда
.
-
Уравнение не содержит независимой переменной:
F ( y, y′,…, y(n)) = 0. (18.7)
Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой у′ = р(у). При этом производные функции f(x) по аргументу х нужно выразить через производные р по у:
и т.д.
Пример.
Пусть
тогда
.
Отметим частное решение р = 0, то есть
Если
после сокращения на р получим
3. Уравнение F (х, y, y′,…, y(n)) = 0 однородно относительно аргументов y, y′,…, y(n), то есть справедливо тождество
В этом случае можно понизить порядок
уравнения на единицу, вводя новую
неизвестную функцию z,
для которой
.
Тогда
и т.д.