
- •Геометрические приложения определенного интеграла.
- •Площадь в полярных координатах. Длина дуги кривой и ее вычисление. Вычисление объемов тел.
- •Длина дуги кривой.
- •Вычисление объемов тел.
- •Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода.
- •Задача Коши для уравнения первого порядка.
- •Теорема существования и единственности задачи Коши.
- •Уравнения с разделяющимися переменными.
- •4. Линейные уравнения.
- •Уравнения, допускающие понижение порядка.
-
Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения вида
f2(y)dy = f1(x)dx (17.1)
называются уравнениями с разделяющимися переменными. Тогда любое решение у(х) этого уравнения будет удовлетворять и уравнению
,
(17.2)
где с – произвольная постоянная. Если удается найти первообразные функций f1(x) и f2(y), выраженные в элементарных функциях, то из (17.2) можно получить конечное уравнение вида Ф (х , у) = 0, (17.3)
которое определяет решение у(х) уравнения (17.1) как неявную функцию х.
Определение 17.1. Уравнение вида (17.3) называется интегралом уравнения (17.1), а если оно определяет все решения (17.1) – общим интегралом этого уравнения.
Пример.
.
Приведем уравнение к виду (17.1):
,
откуда
.
Проинтегрируем обе части равенства:
.
Полученное уравнение можно считать
общим интегралом или решением исходного
уравнения.
Если требуется найти частное решение уравнения (17.1), удовлетворяющее условию у(х0)=у0 , достаточно подставить значения х0 и у0 в уравнение (17.3) и найти значение с, соответствующее начальному условию.
Пример.
Найти решение уравнения y′ctg x + y = 2, удовлетворяющее условию у(0) = -1.
Разделим переменные:
,
-ln | 2 – y
| = -ln | cos
x | - ln |
c |,
2 – y = c• cos x. Подставив в это равенство х = 0 и у = -1, получим, что с = 3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: y = 2 – 3cos x.
-
Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.
Если требуется решить уравнение вида
,
(17.4)
где а и b – постоянные числа, то с помощью замены переменной z = ax+by оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными:
Пример.
.
Замена: z = 4x
+ 2y – 1, тогда
+ с. Вычислим интеграл в левой части
равенства: замена
приводит к
Проинтегрировав теперь правую часть
равенства, получим общий интеграл:
3.Однородные уравнения.
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид:
.
(17.5)
Действительно, замена
или y = xt
приводит к
Еще одной формой однородного уравнения является уравнение
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, (17.6)
если М(х,у) и N(x,y)
– однородные функции одинаковой степени
однородности. При этом
.
Пример.
y² + x²y′
= xyy′. Преобразуем уравнение к
виду (17.5): y′(xy
– x²) = y²,
,
.
После замены y = xt
получим:
,
t – ln
| t | = ln
| x | + ln
|C| ,
,
.
В однородные можно преобразовать и уравнения вида
(17.7)
с помощью замены Х = х – х1 , Y = y – y1 , где х1 , у1 – решение системы уравнений
a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0.
(C геометрической точки
зрения производится перенос начала
координат в точку пересечения прямых
a1x
+ b1y
+ c1 = 0
и a2x
+ b2y
+ c2 = 0).
Тогда, поскольку
,
в новых переменных уравнение примет
вид:
или
- однородное уравнение.
Пример.
(у + 2) dx = (2x
+ y – 4)dy.
Запишем уравнение в виде
.
Решением системы у + 2 = 0, 2х + у –
4 = 0 будут х1 = 3, у1
= -2. В новых переменных Х = х – 3,
Y = y
+ 2 получим однородное уравнение
,
которое можно решить с помощью обычной
замены Y = Xt.
Тогда
,
,
,
и после обратной замены общий интеграл
выглядит так:
.
Заметим, в это общее решение входит при
С=0 и частное решение у = 1 – х,
которое могло быть потеряно при делении
на у + х –1.