Свойства производной по направлению

1) Производная определяет величину скорости изменения функции при движении точки М по направлению . Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения скорости (ее увеличение или уменьшение).

2) Производная от функции по положительным направлениям координатных осей Ох, Оу, Оz равны ее частным производным , и . Например, если направление совпадает с положительным направлением Ох, то углы, образованные этим вектором и координатными осями Ох, Оу и Оz равны соответственно: α=0, β==90. Тогда, согласно определению, по формуле (1), получим .

3) Производные по прямо противоположным направлениям отличаются только по знаку.

4) Производная по направлению линии уровня (по касательной к линии уровня) функции двух переменных и производная по направлению любой линии, лежащей на поверхности уровня (по любому направлению, касательному к поверхности уровня) функции трех переменных равны нулю.

5) Поле в точке М в направлении возрастает (убывает), если его производная по направлению (соответственно ).

6) Производная по направлению достигает своего наибольшего значения по направлению нормали к поверхности уровня.

Примеры.

1. Вычислить производную функции в точке по направлению:

а) биссектрисы первой координатной четверти.

б) радиуса-вектора точки А.

в) вектора .

1) Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке А:

,

,

Подставляя в формулу (1), найдем производные функции в точке А по любому направлению

.

2) найдем значения производной по указанным направлениям:

а) Для биссектрисы первого координатного угла , откуда искомая производная равна

б) запишем координаты радиуса-вектора точки А: , и найдем направляющие косинусы: , .

Тогда для этого случая .

в) направляющие косинусы вектора : , .,

откуда .

2. Вычислить производную функции по направлению вектора в любой точке и в точках и .

1) Находим частные производные функции :

, ,

и направляющие косинусы вектора , модуль которого :

, , .

2) Подставляя в (1), найдем производную функции по указанному направлению в любой точке:

.

3) Подставляя координаты точек А и В, получим производные функции

, .

3. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .

1) Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке Р:

, ,

, ,

2) найдем координаты вектора: , его модуль и вычислим его направляющие косинусы: , , .

Отсюда .

Знак минус указывает, что в данном направлении функция убывает.

4. Найти точки, в которых функция стационарна (т.е. точки, в которых производная по любому направлению равна нулю).

Для того чтобы в некоторой точке функция была стационарна, необходимо и достаточно, согласно формуле (1), чтобы в этой точке все ее частные производные первого порядка одновременно обращались в нуль.

Найдем частные производные первого порядка:

и .

Решив систему уравнений: и , получим 2 точки, в которых функция стационарна: .и .