4. Частные производные функций нескольких переменных

Функцию можно дифференцировать по каждому из ее аргументов , считая при этом все остальные аргументы постоянными.

1. Пусть в некоторой области задана функция . Возьмем произвольную точку и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина

называется частным приращением функции по х.

Можно записать

.

2. Производная от функции по , взятая в предположении, что все остальные аргументы являются постоянными, называется частной производной функции по и обозначается:

Из определения:

.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции по каждому из остальных аргументов.

Частные производные ФНП находят по известным правилам дифференцирования функции одной переменной.

Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона (относительно Ох) касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Примеры.

1.Найти частные производные функции:

а) .

Считая функцией одной переменной – аргумента , находим

;

аналогично для случая, если функция одной переменной – аргумента :

б) .

Считая функцией одной переменной – только аргумента , затем только и далее только , находим

;

;

.

в) .

Перепишем функцию в виде и найдем частные производные, полагая

и .

и .

2.Вычислить значения частных производных функции при указанных значениях аргументов:

а) ; , .

;

; .

3.Проверить, что данная функция удовлетворяет уравнению .

Преобразуем функцию и найдем ее частные производные.

;

Подставим найденные частные производные и функцию в преобразованном виде в исходное уравнение:

Тождество доказано. Это означает, что данная функция удовлетворяет указанному уравнению (является его решением).

5. Дифференциалы фнп. Геометрический смысл полного дифференциала

1. Частным дифференциалом по х функции называется главная часть соответствующего частного приращения , линейная относительно приращения х (или, что то же, дифференциала ).

Аналогично определяются частные дифференциалы функции по каждому из остальных аргументов. Обозначаются, соответственно, , , …

Из определения частных производных следует

, , …

2. Для функции выражение

(1)

называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

Тогда получаем

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

Если функция определена в окрестности точки и имеет непрерывные частные производные в этой точке, то полное приращение можно выразить в виде

или

,

где ₁…_n – бесконечно малые функции при х0, у0 … t0 соответственно;

; .

3. Полным дифференциалом функции называется главная часть ее полного приращения (1), линейная относительно приращений ее аргументов (или, что то же, дифференциалов ).

Полный дифференциал функции , если он существует, равен сумме всех ее частных дифференциалов

4. Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке она имеет полный дифференциал. Если функция дифференцируема в каждой точке области, то она называется дифференцируемой в этой области.

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+х, у₀+у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Примеры.

1.Найти полный дифференциал функции:

а) .

Находим частные производные:

; .

Умножая частные производные на дифференциалы соответствующих аргументов, получим частные дифференциалы функции:

; .

Искомый полный дифференциал находим как сумму частных дифференциалов:

.

б) .

;

;

в) .

г)

.

2. Вычислить значение полного дифференциала функции при ; ; ;

;

. Подставляя числовые значения, получаем .