3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п₁ опытов, и событие А появилось т₁ раз; во второй серии из п₂ опытов событие А появилось т₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р₁, а во второй серии – через р₂. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р₁ = р₂.

В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина

.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

.

Построение критической области:

а) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ ≠ р₂ u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| > u_кр.

б) при конкурирующей гипотезе Н₁: р₁ > р₂ u_кр для правосторонней крити-ческой области находится из условия , и вид критической области:U > u_кр.

в) при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂ левосторонняя критическая область имеет вид U < – u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б).

Пример 8. В серии из 20 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний – 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется

нулевая гипотеза Н_о: р₁ = р₂ при конкурирующей гипотезе Н_о: р₁ < р₂.

Решение.

Критическая область – левосторонняя, следова-

тельно, и_кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим и_набл = U_набл > – u_кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова.

4. Проверка гипотезы о значимости выборочного

коэффициента корреляции

Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r_B ≠ 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции:

H_o: r_Г = 0 при конкурирующей гипотезе Н₁: r_Г ≠ 0. Критерием является случайная величина

,

имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область при заданном виде конку-рирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством |T| > t_кр, где t_кр(α, k) находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.

Пример 9. По выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распреде-ленной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции r_B = - 0,37. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу H_o: r_Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н₁: r_Г ≠ 0.

Решение.

Критическая точка t_кр(0,01; 150) = 2,58. Вычислим наблюдаемое значение критерия: Поскольку |T_набл | > t_кр, нулевая гипо-теза отвергается, то есть Х и Y коррелированны.

5. Критерий согласия Пирсона

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предпола-гаемом законе неизвестного распределения.

Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение:

Варианты xi	x1	x2	...	xs
Частоты ni	n1	n2	...	ns

С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормаль-ном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве крите-рия выбирается случайная величина

,

имеющая закон распределения χ² с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где s – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосто-ронней, и граница ее при заданном уровне значимости α находит-ся по таблице критических точек распределенияχ².

Теоретические частоты вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределе-ния, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:

а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения =п ∙ Р_i, где п – объем выборки, x_i и x_{i + 1} – левая и правая границы i-го интервала, - выборочное среднее,s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3;

б) для проверки гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности в качестве оценки параметра λ принимается . Тогда теоретические частоты=п ∙ Р_i, . Показательное распреде-ление определяется одним параметром, поэтому число степеней свободыk = n – 2;

в) для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности концы интервала, в котором наблюдались возможные

значения Х, оцениваются по формулам:

Тогда плотность вероятности

Число степеней свободы k = n – 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами.

Пример 10. Для выборки, интервальный статистический ряд которой имеет вид

Номер интервала	Границы интервала	Эмпирические частоты
1	2 – 5	6
2	5 – 8	8
3	8 – 11	15
4	11 – 14	22
5	14 – 17	14
6	17 – 20	5

проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о:

а) показательном; б) равномерном; в) нормальном

законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона.

Решение.

Объем выборки п = 70. Будем считать вариантами середины частичных интервалов: х₁ = 3,5, х₂ = 6,5,…, х₆ = 18,5.

Найдем = 11,43;σ_В = 4,03; s = 4,05.

а) Вычислим теоретические частоты в предположении о показательном распределении генеральной совокупности при

аналогично Наблюдаемое значение критерияКритическая точкаχ²(0,05;4)=9,5; и гипотеза о показательном распределении отклоняется.

б) Для равномерного распределения

теоретические частоты: Наблюдаемое значение критерияКритическая точкаи гипотеза о равномерном распределении отклоняется.

в) Теоретические частоты для нормального распределения:

Так же вычисляют-ся Наблюдаемое значение критерияКритическая точкаПосколькугипотеза о нормальном распределе-нии генеральной совокупности принимается.