Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МАТИ» – Российский государственный

технологический университет им. К.Э. Циолковского

Кафедра «Высшая математика»

Проверка статистических гипотез

Методические указания и варианты курсовых заданий

Составители: Симонов А.А.

Выск Н.Д.

Москва 2005

Пособие предназначено для студентов второго курса, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Математическая статистика». В нем рассматриваются методы проверки статистических гипотез. Приводится решение типовых задач. Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам. Задания для курсовой работы включают 7 задач по теме «Проверка статистических гипотез».

Настоящее пособие может быть использовано на всех факультетах и специальностях.

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестно-го распределения случайной величины или о параметрах известного распре-деления. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Н_о форму-лируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернатив-ная) Н₁, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.

Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположе-ние) и сложные (содержащие более одного предположения).

При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используется специально подобран-ная случайная величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивает-ся на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) – значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками k_р. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством ),левосторонней () илидвусторонней (). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого родаα, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием .

Порядок проверки статистической гипотезы таков:

1. задается уровень значимости α, выбирается статистический критерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение k_кр; определяется вид критической области;

2. по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия К_набл;

3. если К_набл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании К_набл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.

Рассмотрим способы проверки некоторых статистических гипотез.

1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Пусть имеются две выборки объемов п₁ и п₂, извлеченные из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y. Требуется по исправлен-ным выборочным дисперсиям ипроверить нулевую гипотезу о равен-стве генеральных дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей:

H_o: D (X) = D (Y).

Критерием служит случайная величина отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободыk₁ = n₁ – 1 и k₂ = n₂ – 1. Критическая область зависит от вида конку-рирующей гипотезы:

1. если H₁: D (X) > D (Y), то критическая область правосторонняя:

Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Еслинулевая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.

2) При конкурирующей гипотезе H₁: D (X) ≠ D (Y) критическая область двусторонняя: При этом достаточно найтиТогда, еслинет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, еслинулевую гипотезу отвергают.

Пример 6. Даны две независимые выборки объемов п₁ = 10 и п₂ = 15, извле-ченные из генеральных совокупностей Х и Y, распределенных по нормаль-ному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии иПроверим при уровне значимостиα = 0,05 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H₁: D (X) > D (Y).

Решение.

Найдем значение Критическая область – правосто-

ронняя. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.