§ 2. Определение производной.

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента (a;b). Дадим аргументу приращение ∆x 0, так чтобы выполнялось условие (x₀+∆x) a;b). Обозначим соответствующие значения функции через y₀ и y₁:

y₀=f(x₀), y₁=f(x₀+∆x). При переходе от x₀ к x₀+∆x функция получит приращение

∆y = y₁ - y₀ = f(x₀+∆x) - f(x₀). Если при стремлении ∆x к нулю существует предел отношения приращения функции ∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆x,

т.е. существует предел

= ,

то этот предел называется производной функции y=f(x) в точке x₀. Итак, производная функции y=f(x) в точке x= x₀ есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции y=f(x) в точке x обозначается символами (x) или (x). Используются также обозначения , , , . В последних трёх обозначениях подчёркивается то обстоятельство, что производная берётся по переменной x.

Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале производная (x) есть функция аргумента x.

§ 3. Механический и геометрический смысл производной.

Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть

v= .

Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t,

v= . Таким образом, если функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где y есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения до момента времени x, то производная (x) определяет мгновенную скорость точки в момент времени x. В этом и заключается механический смысл производной.

В § 1 был найден также угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) k=tg α= . Это соотношение означает, что угловой коэффициент касательной равен производной (x). Говоря более строго, производная (x) функции y=f(x), вычисленная при значении аргумента, равном x, равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна x. В этом состоит геометрический смысл производной.

Пусть при x=x₀ функция y=f(x) принимает значение y₀= f(x₀), и график этой функции имеет касательную в точке с координатами (x₀;y₀). Тогда угловой коэффициент касательной

k = (x₀). Используя известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении ( y-y₀ = k(x-x₀) ), запишем уравнение касательной:

.

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент k_норм связан с угловым коэффициентом касательной k известным из аналитической геометрии соотношением: k_норм = ─ , т.е. для нормали, проходящей через точку с координатами (x₀;y₀), k_норм = ─ . Следовательно, уравнение этой нормали имеет вид:

(при условии, что ).