Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение
Преобразование Лапласа функции которая может принимать комплексные значения, называется функциякомплексного переменногор, определяемая следующим равенством:(2.1). Функцияназывается оригиналом, если она удовлетворяет условиям: 1); 2) существуют также постоянные М иS, что(infS=S0называется показателем роста функции; 3) на любом конечном отрезке [0,T] функцияимеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода, причем считаем, что.
Функцию называют изображением дляи при этом записываетсяили.является функцией, заданной в полуплоскостиRep>S0. Простейшей функцией оригиналом является единичная функция Хевисойде (рис 2.1)
рис. 2.1
В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, писать , считая, что. Ниже приводятся основные теоремы операционного исчисления.
1) Свойство линейности.
Для постоянной(2.2) (Здесь и всюду в дальнейшем считаем, что);
2) теорема подобия.
Для любой постоянной
3)Теорема смещения.Умножение оригинала насоответствует запаздыванию изображения на, т.е.
(2.4)
- некоторая постоянная (действительная или комплексная величина).
4)Теорема запаздывания.Запаздыванию включения оригинала насоответствует умножению изображения на, т.е.
(2.5)
(при в силу первого условия, налагаемого на оригинал,).
5)Теорема о дифференцировании оригинала.
Если и ее производныеявляются оригиналами, то для любого
(2.6)
В частности
(2.7)
6)Интегрирование оригинала.Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на, т.е.
. (2.8)
7)Дифференцирование изображения.
Если , то, в общем случае(2.9)
Задача 1.
Выяснить, какие из данных функций являются оригиналами:
а) б)
Решение.а) функцияявляется оригиналом, т.к. удовлетворяет всем требования, предъявляемым к оригиналу: приобращается в нуль, непрерывна, а дляпри;
б) функция не является оригиналом, т.к. в точке, принадлежащей промежутку, она имеет разрыв второго рода.
Задача 2.Найти изображение функций-оригиналов, используя определение:
а) ; б).
Решение.Для функцииимеем
,
так как
при.
Для функции имеем
при.
Задача 3.Найти изображения следующих функций-оригиналов, используя теоремы операционного исчисления.
а) ; б); в); г); д).
Решение.а) Имеем. Используя теорему смещения для
и окончательно, учитывая свойство линейности (2.2), запишем
;
б) для функции используем теорему о дифференцировании изображения;
если , то;
в) имеем .
Применяя теорему смещения к ии используя свойство линейности (2.2), получаем
;
г) для функции воспользуемся результатом предыдущего примера и теоремой смещений (2.4):
если , то;
д) . Найти.
Если , то; далее для.
Ниже приводится таблица основных операционных соотношений.
Таблица.
№ п/п | ||
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 | ||
13 |
Задача 4.Найти изображение следующих функций-оригиналов, используя теоремы операционного исчисления и таблицу.
а) ;
б) ; в).
Решение.а) используя свойство линейности и таблицу, получи
;
б) применив формулу, получим
и используя свойство линейности, можем записать
;
в) учитывая соотношение и теорему смещения
, получим.
Задача 5.Найти изображение для функции-оригинала, представленного графически (рис. 2.2).
Решение. Имеем
.
Это эквивалентно записи
И теперь, используя теорему запаздывания, таблицу и свойство линейности, получим
.