Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение

Преобразование Лапласа функции которая может принимать комплексные значения, называется функциякомплексного переменногор, определяемая следующим равенством:(2.1). Функцияназывается оригиналом, если она удовлетворяет условиям: 1); 2) существуют также постоянные М иS, что(infS=S₀называется показателем роста функции; 3) на любом конечном отрезке [0,T] функцияимеет не более чем конечное число точек разрыва первого рода, причем считаем, что.

Функцию называют изображением дляи при этом записываетсяили.является функцией, заданной в полуплоскостиRep>S₀. Простейшей функцией оригиналом является единичная функция Хевисойде (рис 2.1)

рис. 2.1

В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, писать , считая, что. Ниже приводятся основные теоремы операционного исчисления.

1) Свойство линейности.

Для постоянной(2.2) (Здесь и всюду в дальнейшем считаем, что);

2) теорема подобия.

Для любой постоянной

3)Теорема смещения.Умножение оригинала насоответствует запаздыванию изображения на, т.е.

(2.4)

- некоторая постоянная (действительная или комплексная величина).

4)Теорема запаздывания.Запаздыванию включения оригинала насоответствует умножению изображения на, т.е.

(2.5)

(при в силу первого условия, налагаемого на оригинал,).

5)Теорема о дифференцировании оригинала.

Если и ее производныеявляются оригиналами, то для любого

(2.6)

В частности

(2.7)

6)Интегрирование оригинала.Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на, т.е.

. (2.8)

7)Дифференцирование изображения.

Если , то, в общем случае(2.9)

Задача 1.

Выяснить, какие из данных функций являются оригиналами:

а) б)

Решение.а) функцияявляется оригиналом, т.к. удовлетворяет всем требования, предъявляемым к оригиналу: приобращается в нуль, непрерывна, а дляпри;

б) функция не является оригиналом, т.к. в точке, принадлежащей промежутку, она имеет разрыв второго рода.

Задача 2.Найти изображение функций-оригиналов, используя определение:

а) ; б).

Решение.Для функцииимеем

,

так как

при.

Для функции имеем

при.

Задача 3.Найти изображения следующих функций-оригиналов, используя теоремы операционного исчисления.

а) ; б); в); г); д).

Решение.а) Имеем. Используя теорему смещения для

и окончательно, учитывая свойство линейности (2.2), запишем

;

б) для функции используем теорему о дифференцировании изображения;

если , то;

в) имеем .

Применяя теорему смещения к ии используя свойство линейности (2.2), получаем

;

г) для функции воспользуемся результатом предыдущего примера и теоремой смещений (2.4):

если , то;

д) . Найти.

Если , то; далее для.

Ниже приводится таблица основных операционных соотношений.

Таблица.

№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Задача 4.Найти изображение следующих функций-оригиналов, используя теоремы операционного исчисления и таблицу.

а) ;

б) ; в).

Решение.а) используя свойство линейности и таблицу, получи

;

б) применив формулу, получим

и используя свойство линейности, можем записать

;

в) учитывая соотношение и теорему смещения

, получим.

Задача 5.Найти изображение для функции-оригинала, представленного графически (рис. 2.2).

Решение. Имеем

.

Это эквивалентно записи

И теперь, используя теорему запаздывания, таблицу и свойство линейности, получим

.