4) Типовые звенья систем ау

Идеальное усилительное звено

Идеальное усилительное (оно же безынерционное, оно же пропорциональное) звено описывается дифференциальным уравнением нулевого порядка - x=kg. Передаточная функция W(s) = k, амплитудно-фазовая частотная характеристика (частотная передаточная функция) W(j) = k, амплитудная частотная характеристика A() = k, фазовая частотная характеристика (ω) =0, h(t)=k(t), h₁(t)=k1(t).

Для широкополосного электронного усилителя k - это коэффициент усиления. Для потенциометра с изменением напряжения от U₁ до U₂ при повороте движка на угол ₀ (радиан)

k = (U₂-U₁)/₀ В/рад.

При угле поворота потенциометра равном  на его выходе образуется сигнал U_вых=k.

Для сельсина, работающего в трансформаторном режиме и запитанного напряжением U=U_mSint, напряжение на выходе U_вых = U_m sintsin, где  - угол рассогласования,  - коэффициент трансформации сельсина. При малых углах рассогласования и детектировании выходного сигнала на выходе U_вых (U_m ) .

2.2 Апериодическое (инерционное) звено.

Дифференциальное уравнение

или, используя символ дифференцирования p = d / dt,

(T₁p+1)x(t)=kg(t).

Примеры апериодических звеньев:

- RC-цепочка с выходным сигналом (pис. 1.1);

- наполняемый газом замкнутый объем;

- нагревание (охлаждение) тела при упрощенном рассмотрении т.д.

Ввиду того, что апериодическое звено часто встречается в САУ, его характеристики рассмотрим подробно.

Пусть g(t) =U₁sinωt.

Ищем установившийся сигнал на выходе звена в виде

x(t)=U₂sin(t+),

где U₁ >0 – амплитуда сигнала на входе системы, U₂>0 - амплитуда сигнала на выходе системы,  - фаза сигнала на выходе звена. Подставив x(t) в уравнение звена, получим

Поскольку sin(ωt) и cos(ωt) ортогональные функции, то суммы их коэффициентов в обеих частях равенства должны быть равны:

Из первого равенства получаем фазовую частотную характеристику звена

(ω)= -arctg(T₁).

Из второго равенства ,сделав подстановку -ωT₁ = sin/cos, получим

Из соотношения

получим амплитудную частотную характеристику звена

Использование символической формы.

Использовав символическую запись гармонического сигнала, то есть, записав входное воздействие в виде

,

Получим комплексную передаточную функцию

.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Отсюда получаем так называемую амплитудно-фазовую частотную частотную характеристику звена

.

Aмплитудная частотная характеристика, как и раньше,

Представим амплитудно-фазовую частотную характеристику как сумму действительной и мнимой частей:

.

Фазовая частотная характеристика, как и раньше,

.

При изменении частоты от =0 до = амплитудно-фазовая частотная характеристика (годограф Найквиста) - нижняя полуокружность (рис.2). При изменении частоты от =0 до =- получается верхняя полуокружность.

Обычно ограничиваются исследованием амплитудно-фазовой частотной характеристики для положительных частот, так как при <0 - получаются комплексно-сопряженные значения W(j).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (лах) и

Фазовая частотная характеристика (ЛФХ).

.

Эта характеристика имеет две асимптоты. При T<<1 ЛАХ приближенно равна L () 20lgk так, что на интервале частот от =0 до ₁=1/T₁ логарифмическая частотная характеристика может быть заменена прямой параллельной оси абсцисс (первая асимптота).

При T₁>>1 логарифмическая частотная характеристика может быть заменена прямой с наклоном -20 дБ/дек (вторая асимптота) L()20lgk-20lg(T₁). Асимптоты пересекаются при =1/T₁=₁. Действительно, при T₁=1 L()=20lgk. Частота ₁=1/T₁ называется частотой сопряжения.

Без потери общности можно положить k=1. ЛАХ для этого случая представлена на рис. 2.4. При k1 ЛАХ смещается вдоль оси L() на Lm(k).

а при больших – к минус /2.

При  = 1/T полагаем Lm( ) = 20lgk, так, что две асимптоты сопрягаются. Частота _c =1/T называется сопрягающей. В точке сопряжения разность между асимптотами и самой характеристикой максимальна и составляет 3 дБ. Этой разницей в инженерных расчетах пренебрегают. Вторая асимптота имеет наклон -20 дБ на декаду.

Если частоту откладывать в логарифмическом масштабе, а фазовый сдвиг в линейном, то графики зависимостей фазового сдвига от частоты

( ) = - arctg T₁ = - arctg( /_с)

для разных сопрягающих частот (_с ) получаются простым смещением по оси частот одной и той же кривой [2,стр.163]. Более того, как и амплитудные характеристики, логарифмические фазовые характеристики (ЛФХ) можно аппроксимировать тремя асимптотами [8]: через точку с координатами (=1/T, ()= 45 ) проводится отрезок прямой с наклоном минус 45 градусов на декаду до пересечения с прямыми ()=0 и ()=  90 (рис. 2.4). Этот отрезок аппроксимирует ЛФХ на интервале частот от =0.1T^-1 до =10T^-1 . Для <0.1T^-1 полагается ()0, а для >10T^-1 - () 90. Погрешность от такой аппроксимации не превышает 6…8 градусов.

Если k>1, то асимптота с наклоном –20 Дб/дек пересекает ось частот в точке, называемой частотой среза ( _с), которая определяется из уравнения из уравнения

A( ) = 1, что соответствует L ( ) = 0.

Приближенное равенство справедливо при k>>1, что обычно имеет место. Чем больше усиление k ,тем выше частота среза, тем больший диапазон частот “пропускает” звено.

Переходная функция звена (реакция на x₁(t) = 1(t))

h₁(t) = k (1-exp(-t / T₁)), t > 0,

а весовая функция (реакция на x₁(t)=(t))

.

Неустойчивое апериодическое звено

Дифференциальное уравнения

.

Передаточная функция

Амплитудная характеристика совпадает с АЧХ устойчивого звена

,

но фазовая характеристика существенно отличается от ФЧХ устойчивого звена [5, т. 1]:

. При малых частотах фазовый сдвиг стремится к минус ,