9) Пространство состояний (фазовое пространство)
Вектор состояния состоит из компонент выбранных так и в таком количестве, что если известно их (компонент) значения в момент времени t=0 при заданном входном воздействии, то выходной сигнал оказывается однозначно определенным.
Пространство состояний – N-мерное пространство, координатами которого служат переменные состояний.
Траектория состояний – геометрическое место точек конца вектора состояния в пространстве состояний в течение некоторого отрезка времени.
Если входное воздействие равно нулю, то траектория состояний описывает свободное движение системы. Портрет состояний системы – траектория невозмущенного движения системы.
Фазовое пространство системы – это пространство состояний, координаты которого производные по времени.
Можно определить
Непрерывные (аналоговые) системы – системы вектор состояний которых изменяется непрерывно в пространстве состояний. Пространство состояний при этом может быть ограниченным или неограниченным. Обычно оно ограничено физическими ограничениями на компоненты вектора состояний.
Цифровые системы – системы вектор состояний которых может принимать лишь определенные значения из конечного (обычно) счетного множества возможных состояний.
Фазовая плоскость - плоскость, на которой по двум осям откладываются какие-либо две переменные, характеризующие поведение системы в динамике ( в переходном процессе ). Наиболее распространенный выбор координат - регулируемая величина x и ее производная по времени (скорость) v = dx/dt, как показано на рисунке.
При таком выборе координат существуют правила, которые надо учитывать при построении фазового портрета:
- В верхней полуплоскости (dx/dt >0) изображающая точка всегда движется слева направо (в сторону увеличения x),
- В нижней - справа налево (в сторону уменьшения x);
- Фазовые траектории пересекают ось 0x под прямым углом. Это следствие того, что в точке пересечения dx/dt = 0, а величина x(t) достигает экстремального значения.
Пусть задано уравнение
.
Введя
обозначения
,
получим систему уравнений в нормальной
форме (форме Коши):
Теперь можно образовать трехмерное фазовое пространство с координатами (x1, x2, x3), которые полностью определяют состояние системы.
Уравнение можно записать в матричном виде:
Отметим, что здесь x= (x1, x2, x3)T - вектор.
Матричной записи дифференциального уравнения можно поставить в соответствие и матричную запись решения с начальными условиями x(t0)=C0:
Мнемоническое правило обозначения переменных при приведении уравнения n-ного порядка к нормальной форме (Иванов и др. с.131):
x1 |
x2 |
x3 |
….. |
xn |
x |
dx/dt |
d2x/dt2 |
….. |
dx(n-1)/dt(n-1) |
В линейных системах переходный процесс может или затухать (в устойчивых системах) или расходится независимо от начальных условий. В нелинейных системах возможны автоколебания с постоянной амплитудой и частотой. Такая система неустойчива относительно равновесного состояния.
Нестрогое определение устойчивости нелинейной системы.
Если амплитуда колебаний мала, их частота приемлема, то систему считают практически устойчивой. Обычно требуется, чтобы частота собственных колебаний была выше основной частоты управляющего воздействия (во избежание возникновения низкочастотных биений с разностной частотой) и не вызывала бы в системе нежелательных физических процессов (например, перегрева электродвигателя, вызываемого его частым реверсированием в процессе автоколебаний и т.п.).
Если амплитуда колебаний неприемлема для целей регулирования, то САУ практически неустойчива.
Характерные признаки автоколебаний практически устойчивой нелинейной системы:
Автоколебания являются собственными свободными колебаниями системы.
Амплитуда и частота автоколебаний не зависят от начальных условий, а зависят только от параметров системы.
Параметры автоколебаний устойчивы при изменениях параметров системы в достаточно широких пределах.
Гистерезис – это свойство звена, когда его состояние определяется не только условиями на его входе в данный момент времени, но и условиями, существовавшими в предшествующие моменты.
Иными словами – отставание следствия от производящей его причины вследствие существовавших ранее условий.
Нелинейные системы существенно богаче по своим возможностям и разнообразию свойств, чем