1.5. Неявные функции и их дифференцирование

Пусть - дифференцируемая функция трех переменныхии пусть уравнениеопределяеткак функцию независимых переменныхиЧастные производные этой неявной функциив точкевычисляются по следующим формулам:

и

при условии, что гдеи

Пример 8. Найти частные производные иеслиопределяется, как функция отииз уравнения

.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через Тогда

,

,

.

Отсюда получаем

;

.

2. Теоретические вопросы

1. Понятие функции двух переменных Геометрическое истолкование. Область определения.

2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

3. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.

4. Определение и геометрический смысл частных производных.

5. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

6. Дифференцирование сложной функции где

7. Понятие полной производной.

8. Дифференцирование сложной функции где

9. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, определяемой графиком функции двух переменных.

10. Определение и геометрический смысл полного дифференциала функции

11. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Свойства дифференцируемой функции: непрерывность, существование частных производных.

12. Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных.

13. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

14. Инвариантность формы и другие свойства полного дифференциала.

15. Дифференциалы высших порядков.

16. Формула Тейлора для функции двух переменных.

17. Неявные функции и их дифференцирование.

18. Уравнение касательной к кривой, задаваемой неявной функцией.

19. Определение точек экстремума функции Необходимые и достаточные условия экстремума.

3. Варианты индивидуальных заданий

Задача 1

Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).

1.1. .1.2. .

1.3. .1.4. .

1.5. .1.6. .

1.7. .1.8. .

1.9. .1.10. .

1.11. .1.12. .

1.13. .1.14. .

1.15. .1.16. .

1.17. .1.18. .

1.19. .1.20. .

1.21. .1.22. .

1.23. .1.24. .

1.25. .1.26. .

1.27. .1.28. .

1.29. .1.30. .

Задача 2

Найти частные производные ,от функции.

2.1. .2.2. .

2.3. .2.4. .

2.5. .2.6. .

2.7. .2.8. .

2.9. .2.10. .

2.11. .2.12. .

2.13. .2.14. .

2.15. .2.16. .

2.17. .2.18.

2.19. .2.20. .

2.21. .2.22. .

2.23. .2.24. .

2.25. .2.26. .

2.27. 2.28. .

2.29. .2.30. .

Задача 3

Вычислить производные сложных функций.

3.1. где

3.2. где

3.3. , где,

3.4. , где;

3.5. где

3.6. где;

3.7. где;

3.8. где,

3.9. где,;

3.10. где;

3.11. где;

3.12. где,

3.13. где;

3.14. где,

3.15. где

3.16. где,

3.17. где;

3.18. где;

3.19. , где ,

3.20. где

3.21. где

3.22. где

3.23. , где ,

3.24. где

3.25. где,

3.26. где;

3.27. где

3.28. , где;

3.29. , где,;

3.30. где

Задача 4

Найти частные производные ,от неявной функции.

4.1. 4.2. .

4.3. .4.4. .

4.5. .4.6. .

4.7. .4.8. .

4.9. .4.10.

4.11. .4.12. .

4.13. .4.14. .

4.15. .4.16. .

4.17. .4.18. .

4.19. .4.20. .

4.21. .4.22. .

4.23. .4.24. .

4.25. .4.26. .

4.27. .4.28. .

4.29. .4.30. .

Задача 5

Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала.

5.1. .5.2. .

5.3. .5.4. .

5.5. .5.6. .

5.7. .5.8. .

5.9. .5.10. .

5.11.. .5.12. .

5.13. .5.14. .

5.15. .5.16. .

5.17. .5.18. .

5.19. .5.20. .

5.21. .5.22. .

5.23. .5.24. .

5.25. .5.26. .

5.27. .5.28. .

5.29..5.30. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.., Высшая школа, 1980.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1. М., Наука, 1976.

5. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., Наука, 1993.

12