- •4. Аксиомы теории вероятностей
- •4.1. Простейшие следствия из аксиом
- •4.2. Примеры вероятностных пространств
- •4.2.1. Конечное число неравновозможных исходов
- •4.2.2. Счетное множество неравновозможных исходов
- •4.2.3. Геометрические вероятности
- •4.3. Примеры решения задач
- •5. Некоторые формулы
- •5.1. Независимые события и условные вероятности
- •Примеры решения задач
- •5.2. Примеры решения задач
5. Некоторые формулы
5.1. Независимые события и условные вероятности
Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло (обозначается р(А/В), называется число, определяемое формулой
. (5.1)
Так же определяется условная вероятность события В при условии, что событие А произошло:
. (5.2)
Для классических вероятностей эти формулы доказываются, а во всех остальных случаях они постулируются. Выражая из этих формул вероятность произведения, получаем
. (5.3)
(“теорема умножения вероятностей”).
События А и В называются независимыми, если и только если
, . (5.4)
Другими словами, события А и В независимы тогда и только тогда, когда
(5.5)
В противном случае события называются зависимыми.
События называются независимыми в совокупности, если для любого набора индексов верно равенство
. (5.6)
Рассмотрим пример событий, попарно независимых, но не являющихся независимыми в совокупности. Из четырех чисел 2, 3, 5, 30 выбирают наудачу одно. Введем такие события:
А = {выбранное число делится на 2}, В = {выбранное число делится на 3}, С = {выбранное число делится на 5}. Очевидно, что . Кроме того,
; ;
; .
Примеры решения задач
5.1.1. Пусть . Найти условные вероятности и .
Решение. Если , то АВ = А, поэтому , что, впрочем, и так ясно, а . События А и В зависимы.
5.1.3. А и В – несовместные события. Чему равна условная вероятность ?
Решение. Так как АВ = по условию, то А(А + В) = А. Значит,
.
5.1.4. Доказать, что если события А и В независимы, независимы также события и , и , и .
Решение. Дано, что р(АВ) = р(А)р(В). Требуется доказать, что
; ; .
Так как , события и несовместны, то
.
Точно также доказывается, что . Далее из равенства следует, что .
Доказанные формулы легко переносятся на случай n событий, независимых в совокупности.
5.1.5. События независимы в совокупности. Найти вероятность суммы событий .
Решение. Обратимся к противоположному событию. Событию {произошло хотя бы одно из событий } противоположно событие {ни одно из событий не произошло}, т.е. = . Тогда
р( ) = 1 р( )=1
в силу независимости событий .
5.2. Примеры решения задач
5.2.2. Пусть вероятность дожить до 20 лет равна p1, а вероятность дожить до 60 лет равна р2, (р2 < p1). Чему равна вероятность того, что человек, доживший до 20 лет, доживет до 60?
Решение. Построим пространство элементарных исходов. Эксперимент заключается в выборе случайного человека и фиксировании длительности его жизни. Имеем всего три исхода: . Обозначение “ ” означает, что человек не дожил до 20 лет, обозначение “ ” что он дожил до 20 лет, но не дожил до 60, обозначение “60” означает, что человек дожил до 60 лет. Событие А = {человек дожил до 60 лет} влечет событие В = {человек дожил до 20 лет}. По условию р(А) = р2, р(В) = p1, тогда
.
5.2.4. Вероятность того, что стеклянный сосуд при упаковке будет разбит, равна 0,01. Определить вероятность того, что при упаковке пяти сосудов хотя бы один окажется разбитым.
Решение. В условии неявно подразумевается, что события {i-й сосуд окажется разбитым}, i = 1, 2, 3, 4, 5 независимы в совокупности. Поэтому вероятность события В = {хотя бы один сосуд окажется разбитым} равна
.
5.2.5. Вероятности двух несовместных событий А и В связаны соотношением ; кроме того, А + В = . Найти р(А) и р(В).
Решение. По условию , кроме того, в силу несовместности событий, . Подставив вместо числа р(В) квадрат числа р(А), получим квадратное уравнение , откуда .
5.2.6. Двадцать мальчиков поехали на пикник; 5 из них обгорели на солнце, 8 были сильно искусаны комарами, а 10 мальчиков остались всем довольны. Какова вероятность того, что обгоревший мальчик не был искусан комарами? Какова вероятность того, что искусанный комарами мальчик также и обгорел?
Решение. Введем обозначения: А = {наудачу выбранный мальчик обгорел}, В = {наудачу выбранный мальчик искусан комарами}. Тогда событие АВ означает, что выбранный мальчик обгорел и искусан комарами, а событие означает, что мальчик обгорел и не искусан комарами. Непосредственно из условия задачи вытекает, что одновременно и обгоревших, и искусанных мальчиков было трое. Тогда обгоревших и неискусанных мальчиков было двое, откуда получаем, что, , .
Нужно найти условные вероятности и . Используя определение условной вероятности, получаем
5.2.8. Из 12 билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим выбираются без возвращения два билета. Каковы вероятности следующих событий: A = {оба номера на билетах четные}; В = {первый номер четный, второй нечетный}; С = {один номер четный, другой нечетный}.
Решение. Введем следующие обозначения событий:
Чk = {k-й выбранный билет имеет четный номер}; k = 1, 2.
Нk = {k-й выбранный билет имеет нечетный номер}; k = 1, 2.
Тогда , , .
Из условия задачи находятся следующие вероятности: ; ;
Нам нужно найти вероятности:
; =
= , а также вероятность .
События несовместны, поэтому
= = .
Замечание. Эту задачу можно решить по “классическим” канонам. Действительно, взять один за другим два билета – это то же самое, что взять два билета сразу. Поэтому вероятности событий А, В, С равны:
; ; .
5.2.10. Игральную кость подбрасывают до первого выпадения одного очка. Какова вероятность того, что придется произвести более трех подбрасываний?
Решение. Пространство содержит в данном случае счетное бесконечное число исходов, = {1, 2, …, k, …}, где элементарный исход k соответствует случаю, когда первые (k – 1) бросаний не привели к выпадению единицы, а результатом k-го бросания была единица. Обозначим через событие {при k-м бросании единица не выпала }. В условии задачи подразумевается, что события , k = 1, 2, 3, … независимы в совокупности, а вероятности событий таковы:
Элементарный исход k можно представить в виде произведения
. Значит, . Отсюда ,
, .
Событию А = {придется произвести более трех бросаний кости} противоположно событие = { произведено не более трех бросаний}.
, , =
= 1 .