3.5. Независимые события и условные вероятности. Теорема умножения вероятностей
Пусть заданы пространство элементарных исходов , содержащее n равновозможных элементарных исходов, событие А, содержащее mA исходов, событие В, содержащее mВ исходов, и произведение AB, которому благоприятствуют mAB исходов. Тогда
p(A) = mA/n; p(B) = mB/n; p(AB) = mAB/n.
Известно, что в результате эксперимента произошло событие А; в этих условиях нужно найти новую вероятность события В. Такая вероятность обозначается символом p(B/А) и называется условной вероятностью события B при условии, что произошло событие А.
Если произошло событие А, то произошел один из mA элементарных исходов, благоприятствующих этому событию. Следовательно, пространство элементарных исходов сузилось до события A и содержит теперь не n, а только mA исходов. Bo множестве A событию B благоприятствуют исходы, входящие в произведение AB, их количество равно mAB , поэтому
(3.4)
В примере 3.4.1 определялась именно условная вероятность события В.
Формулу (3.4) можно записать по-другому:
p(AВ) = p(A) p(B/А) = p(B) p(A/В). (3.5)
Формула (3.5) выражает собой так называемую теорему умножения вероятностей.
События A и B называются независимыми тогда и только тогда, когда
p(A/В) = p(A), p(B/А) = p(B). (3.6)
В случае независимых событий A и B теорема умножения вероятностей записывается совсем просто:
p(AВ) = p(A) p(B). (3.7)
Рассмотрим такой пример. Эксперимент заключается в бросании двух игральных костей, = {(1,1), (1, 2), ... , (6,6)} , n = 36. События A = {на первой кости выпало четное число очков} и B = {на второй кости выпало число очков, делящееся на 3} независимы, так как mA = 18, mB = 12, mAB = 6, p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(AВ) = 1/6, p(AВ) = p(A) p(B).
Этот результат соответствует интуитивным представлениям о независимости исхода бросания одной кости от исхода бросания другой.
События, которые не являются независимыми, называются зависимыми.