2.2. События и действия над ними

Событием называется любое подмножество множества . События обозначаются заглавными латинскими: буквами А, В, С.…

Элементарный исход – это пример события. Элементарный исход, входящий в событие (множество) А, называется благоприятствующим событию A; соответственно определяются неблагоприятствующие событию A элементарные исходы.

Говорят, что событие A произошло, если в результате эксперимента произошел элементарный исход, благоприятствующий событию А.

Пустое множество  называется невозможным событием; оно не содержит ни одного элементарного исхода и, значит, не может произойти.

Пространство элементарных исходов  называется достоверным событием. Оно содержит все элементарные исходы и, следовательно, всегда происходит.

Любое другое событие A называется случайным, так как заранее нельзя сказать, произойдет оно или нет.

Событием, противоположным событию A (обозначается Ā), называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые не входят в А. Если произошло событие А, то не произошло Ā, и наоборот. Ясно, что .

Суммой двух событий A и B (обозначается A + В) называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые входят по крайней мере в одно из событий: A или В.

Сумма событий – это объединение множеств. Событие A + B происходит тогда и только тогда, когда происходит, по крайней мере, одно из событий (либо А, либо В), либо оба сразу. Понятие суммы событий легко распространяется на любое число слагаемых.

В устной и письменной речи для обозначения суммы событий употребляют союзы «или», «либо».

Произведением событий A и B (обозначается AB) называется событие, которое содержит те и только те элементарные исходы, которые входят в оба события A и В.

Произведение событий – это пересечение множеств. Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда происходят сразу оба события A и В. Операция произведения легко распространяется на любое число сомножителей. При словесном описании произведения событий употребляют союз «и».

Сумму и произведение n событий (бесконечного числа событий) будем обозначать так: .

События A и B называются несовместными, если их произведение – невозможное событие, AB = . Вместе эти события не могут произойти. B противном случае A и B называются совместными.

Говорят, что событие A влечет событие В, если все элементарные исходы, благоприятствующие А, благоприятствуют и B (множество A есть подмножество множества В). Обозначается A  B. Ясно, что если A  B, то AB = А, A + B = В.

Разностью событий A и B (обозначается А\В) называется событие, содержащее те и только те элементарные исходы, которые входят в событие А, но не входят в событие В. Разность событий – это разность множеств. Событие А\В происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Легко видеть, что . Сами элементарные исходы будем обозначать ω.

2.4. Примеры решения задач

2.4.1. Из трех мужчин (A, Б, В) и двух женщин (Г, Д) избирается комиссия из двух человек. Описать два различных пространства элементарных исходов этого эксперимента.

Решение.

а) Будем понимать под элементарным исходом список людей, которые вошли в комиссию. Тогда число элементарных исходов равно числу способов выбрать двух человек из пяти данных: т.е. . Выпишем явно множество .

 = {(A, В), (A, Б), (A, Г), (A, Д), (Б, В), (Б, Г), (Б, Д), (B, Г), (B, Д), (Г, Д)}

Здесь записи (A, Б) или (Б, А) означают одно и то же.

б) Будем понимать под элементарным исходом число мужчин и число женщин, вошедших в комиссию. Тогда возможны всего три случая:  =

= {(2М), (2Ж), (1М, 1Ж)}, где запись (1М, 1Ж), например, означает, что в комиссию вошли один мужчина и одна женщина.

2.4.2. Наугад выбирается одна буква из числа образующих слово «формула». Какие из следующих множеств являются пространством элементарных исходов для рассматриваемого эксперимента:

1) {ф, о, р, м, у, л, а}; 2) {р, м, у, л, а}; 3) (гласная, ф, р, м, л); 4) {согласная, у, е}; 5) (гласная, согласная)?

Решение. Если понимать под элементарным исходом выбранную букву, то первое множество можно считать пространством элементарных исходов, а второе нельзя, так как буквы «ф» и «о», которые могут быть выбраны, в данное множество не входят.

Пятое множество также можно считать пространством элементарных исходов, если понимать под элементарным исходом информацию о том, выбрана гласная или согласная буква.

Третье множество занимает промежуточное положение между первым и пятым. Под исходом эксперимента понимается информация о том, гласная или согласная буква выбрана, причем, если выбрана согласная буква, указывается, какая именно.

Четвертое множество не является пространством элементарных исходов для данного эксперимента. В нем не описаны возможности выбора букв «о» и «а», зато указана букса «е», которой нет в слове формула.

2.4.3. Поезда метро следуют с интервалом в две минуты. Пассажир приходит на станцию в случайный момент времени.

Элементарный исход – время ожидания пассажиром поезда. Описать пространство элементарных исходов.

Решение. Элементарный исход – число из отрезка [0, 2], пространство элементарных исходов – множество точек отрезка [0, 2],  = {  0   

 2}.

2.4.5. А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

1) произошло только А; 2) произошли A и В, событие С не произошло; 3) все три события произошли; 4) произошло по крайней мере одно из событий; 5) произошло одно и только одно событие; 6) ни одно из событий не произошло; 7) произошло не более двух событий; 8) произошло не менее двух событий.

Решение.

1. Произошел элементарный исход, благоприятствующий событию A и не благоприятствующий событиям B и С. Следовательно, произошло событие

2. Произошел элементарный исход, благоприятствующий событиям A и B и не благоприятствующий событию С. Следовательно, произошло событие .

3. Произошло событие ABC.

4. Произошел элементарный исход, благоприятствующий, по крайней мере, одному из событий: А, B или С, т.е. произошло событие (A + B + С ).

5. Произошел элементарный исход, благоприятствующий ровно одному из трех событий, т.е. произошло событие + + .

6. Произошло событие .

7. Противоположное событие заключается в том, что произошли все три события; значит, можно записать, что произошло событие . По-другому можно сказать так: хотя бы одно из событий не произошло.

8. Произошел элементарный исход, благоприятствующий по крайней мере двум из трех событий; значит, можно записать, что произошло событие (AВ + ВС +AC).

2.4.6. Событие A = {хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное}, событие B = {бракованных изделий среди них не менее двух}. Что означают события А\В, , ? Можно ли сказать, что B  А?

Решение. Построим пространство элементарных исходов. Из условия задачи следует, что элементарным исходом в данном случае является количество бракованных изделий среди четырех данных. Тогда возможны 5 исходов. Обозначим их числами от 0 до 4;  = {0, 1, 2, 3, 4}; A = {1, 2, 3, 4}; B = {2, 3, 4}; А\В = {1}; = {0}; = {0, 1}; А\В = {среди четырех изделий ровно одно бракованное}; = {все изделия годные}; = {среди четырех изделий менее двух бракованных}. Событие B  A.