6.3. Обобщение формулы Бернулли

Допустим, что в каждом эксперименте проверяется, какое произошло событие из некоторого разбиения пространства элементарных исходов   . Когда число m равнялось двум, то в качестве полной группы брались события и  “успех” и “неудача”. Если всего проводится n независимых экспериментов, то элементарный исход можно описать перестановкой с повторениями из чисел 1, 2,…, m; в перестановке n элементов, число l (1 l  m) на i-м месте (1 i  n) означает, что в i-м эксперименте произошло событие . Если в n независимых испытаниях событие произошло раз, событие произошло раз, …, событие произошло раз, , то вероятность всякого такого элементарного исхода равна по определению произведению . Здесь  вероятность события , причем .

Всего же подобных элементарных исходов столько, сколько перестановок с повторениями, т.е. .

Следовательно, вероятность того, что в n независимых испытаниях Событие появится раз, появится раз, …, событие появится раз, , равна:

. (6.4)

6.4. Формула Пуассона

Обозначим произведение np символом λ и будем считать число λ константой. Таким образом, чем больше n, тем меньше вероятность “успеха” p, так что np = λ (или ). Найдем предел вероятности p_n(k) при (λ  константа).

.

Так как

, то окончательно

(6.5)

Эта формула называется формулой Пуассона. По ней можно вычислить приближенное значение вероятности p_n(k) тем точнее, чем больше n и меньше вероятность р. Достаточно точные результаты получаются, когда число независимых испытаний исчисляется сотнями, а вероятность р < 0,1.

6.5 Примеры решения задач

6.5.1. Крупная партия деталей содержит одинаковые по форме детали, часть деталей стальные, остальные сделаны из чугуна. Число стальных деталей вдвое больше числа чугунных. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу деталей окажутся две стальных?

Решение. Испытание здесь  выбор одной детали из партии; “успех” – выбор стальной детали; “неудача” – выбор чугунной. Предполагается, что деталей так много, что вероятности “успеха” и “неудачи” не меняются от испытания к испытанию, а определяются только заданной пропорцией числа стальных и чугунных деталей; другими словами, p = 2/3, q = 1 – р = 1/3. Далее, n = 3, k = 2, нужно вычислить p₃(2). По формуле Бернулли

.

6.5.2. Событие В происходит в том случае, когда событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность события В, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,3 и произведено 5 независимых испытаний.

Решение. По условию n = 5; k  3; p = 0,3; q = 0,7.

Вероятность события В = {событие А произошло не менее трех раз в пяти независимых испытаниях} равна

.

6.5.3. При фиксированных значениях n и k величина p_n(k) является функцией p. Доказать, что она достигает максимума при p = k/n.

Решение. Запишем формулу Бернулли: . Так как числа n и k фиксированы, то число является константой и ее можно не учитывать при определении максимума функции p_n(k) от аргумента p.

Для определения экстремума функции вычислим ее производную по p и приравняем нулю.

.

Так как p  0 и 1 – p  0, то (1  p)k – (n – k)p = 0, откуда p = k/n. Легко видеть, что это значение действительно является максимумом функции p_n(k).

6.5.4. Найти наиболее вероятное число выпадений герба при 20 и 25 бросаниях монеты.

Решение. По условию p = q = 0,5; n₁ = 20; n₂ = 25. Тогда n₁p – q = 20

0,5 – 0,5 = 9,5. Так как это число дробное, то наивероятнейшее число появления герба при 20 бросаниях монеты одно: k₀ = [9,5] + 1 = 10. Далее n₂p – q = 25·0,5 – 0,5 = 12. Это число – целое. Имеем два наивероятнейших числа появления герба: k₀ = 12, k₀ + 1= 13.

6.5.5. Два равносильных шахматиста играют в шахматы, ничьи в счет не идут. Какой счет наиболее вероятен: 1: 1; 2: 2, 3: 3 и т.д.?

Решение. Пусть всего сыграно 2k результативных партий. Найдем вероятность того, что каждый из соперников выиграл k раз. Результат очередной игры считается независимым от предыдущих побед и поражений, поэтому можно применить формулу Бернулли:

1. n = 2k; p = q = 0,5. .

2. n = 2k + 2; p = q = 0,5.

.

Таким образом, , счет n : n более вероятен, чем счет

6.5.6. Какое минимальное число опытов n₀ достаточно провести, чтобы с вероятностью, не меньшей чем  (0 <  < 1), можно было бы ожидать появления “успеха” хотя бы один раз, если вероятность появления “успеха” в одном опыте равна р?

Решение. Перейдем к вероятности противоположного события. Вероятность того, что в n независимых испытаниях “успех” не произойдет ни разу (все n раз произойдет “неудача”), равна числу qⁿ. Тогда должно быть .

Минимальное количество опытов n₀ – это наименьшее целое число, которое превосходит число . Например, если p=0,1 и q = =0,9, то .

6.5.7. Мишень состоит из трех попарно непересекающихся зон. Вероятность попадания в первую зону для данного стрелка равна 0,5. Для второй и третьей зон эти вероятности равны соответственно 0,3 и 0,2. Эти вероятности постоянны и не зависят от того, какой по счету выстрел сделал стрелок. Он произвел 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что он три раза попал в первую зону, два раза  во вторую зону и один раз – в третью.

Решение. Здесь n = 6; ; ; ; p₁ = 0,5; p₂ = 0,3; p₃ = 0,2.

.

6.5.8. Рыбак забросил удочку 100 раз. Какова вероятность того, что он поймал хотя бы одну рыбу, если одна рыба приходится в среднем на 200 забрасываний?

Решение. “Успех” в данном случае – поймать рыбу при очередном забрасывании удочки. Из условия задачи следует, что вероятность р “успеха” равна 1/200 = 0, 005. Тогда q = 1 – p = 0,995. Число независимых испытаний n равно 100. Нам нужно найти вероятность того, что число пойманных рыб после 100 забрасываний примет значение не меньше 1. Применим формулу Пуассона, .

.

Вычислим эту вероятность по формуле Бернулли,

.

Расхождение между этими двумя значениями мало.