Решение.
Воспользуемся признаком сравнения.
Общий
член исходного ряда
:
.
Учитывая,
что для больших значений
:
,
то сравним исходный ряд с рядом
,
общий член которого равен
.
Вычислим предел:
.
Так как значение предела не равно 0, то оба ряда являются сходящимися или расходящимися.
Заметим,
что обобщенный
гармонический ряд
является
сходящимся, если
и расходится, если
.
Так
как ряд
сходится
,
то и исходный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
б)
.
Решение.
Воспользуемся признаком Д’Аламбера.
Определим
и
члены ряда:
и
.
Вычислим предел:
Ряд расходится, так как значение предела больше 1.
Заметим, что если значение предела меньше 1, то ряд сходится.
Ответ: ряд расходится.
№12.
Исследовать
сходимость ряда:а)
.
Решение.
Воспользуемся признаком Коши.
Общий
член ряда
.
Вычислим предел:
,
так
как
.
Ряд сходится, так как значение предела меньше 1.
Заметим, что если значение предела больше 1, то ряд расходится.
Ответ: ряд сходится.
б) .
Решение.
Исходный
ряд является
знакочередующимся рядом
,
где
.
Воспользуемся следствием признака
Лейбница о сходимости таких рядов: если
члены знакочередующегося ряда
,
,
монотонно убывают
,
начиная с некоторого номера
,
и стремятся к нулю
,
то ряд сходится.
Очевидно,
что
.
Вычислим предел:
.
Так как , то
.
Решим
неравенство:
,
т.е.
Тогда
и
.
Следовательно,
и
.
Разложим
левую часть неравенства на множители.
Для этого решим уравнение
,
дискриминант которого равен
.
Откуда
и
.
Таким
образом
или
и неравенство
выполняется для любого натурального
.
Следовательно, исходный ряд является сходящимся.
Ответ: ряд сходится.
№13.
Найти область сходимости степенного
ряда:
.
Решение.
Исходный
ряд является степенным рядом вида
,
где
.
Тогда
.
Вычислим радиус сходимости степенного ряда:
.
Следовательно,
,
т.е.
интервал
сходимости ряда.
Если,
,
то получим ряд
,
который
расходится, как и гармонический ряд
.
Если,
,
то получим ряд
.
Полученный
ряд сходится, как знакочередующийся
ряд
,
где
,
так как
,
то
,
и
- монотонно убывающая последовательность.
Таким
образом,
область
сходимости
степенного ряда.
Ответ: .