Индивидуальные задания для контрольной работы

Тема 1. Линейное программирование

1. Расход ресурсов при производстве продукции А, В, С приведен в таблице:

Ресурс	Норма расхода ресурсов на единицу продукции вида			Имеется в наличии
	А	В	С
Материалы	1	2	0	500
Комплектующие	2	1	0	550
Оборудование	0	1	1	200
Прибыль, грн./ изд.	3	4	1

1. Постройте и экономически интерпретируйте прямую и двойственную модели.

2. Найдите решение задачи.

3. Определите изменение максимальной прибыли при следующем изменении количества ресурсов: b₁ = 70, b₂ = 200, b₃ = - 40, причем оцените раздельное и суммарное влияние этих изменений.

4. При каком изменении удельной прибыли выпуск изделия В продолжает оставаться выгодным?

2. Китайская компания по производству гусеничных механизмов выпускает 5 сходных друг с другом товаров A, B, C, D, E. Нормы расхода ресурсов на них – в таблице.

Ресурсы	Товары					Недельный запас ресурс	Цена единицы ресурса
	A	B	C	D	E
Сырье, кг	6	6,5	6,1	6,1	6,4	35000	2,1
Сборка, ч	1	0,75	1,25	1	1	6000	3
Обжиг, ч	3	4,5	6	6	4,5	30000	1,3
Упаковка, ч	0,5	0,5	0,5	0,75	1	4000	8
Цена, ден.ед.	40	42	44	48	52

1. Сформулируйте задачу по критерию «максимум прибыли», постройте модель и найдите решение.

2. Опишите полученный оптимальный план и последствия его реализации с точки зрения недоиспользованных ресурсов и вклада отдельных компонент в общую прибыль.

3. У компании появилась возможность производить дополнительный продукт, цена которого составит 50 ф. ст. за единицу. Производство единицы продукта потребует 6 кг сырья и 1ч, 5 ч, 1ч ресурсов времени по операциям. Целесообразно ли такое производство? Если да, то как его организовать?

3. Для изготовления 4 видов продукции (А, Б, В, Г) используется три вида сырья. Ресурсы сырья, нормы его расхода на единицу продукции и получаемая от реализации единицы продукции прибыли приведены в таблице.

Сырье	А	Б	В	Г	Запас
1	2	1	0,5	4	2400
2	1	5	3	0	1200
3	3	0	6	1	3000
Прибыль	7,5	3	6	12

1. Найдите оптимальный план выпуска продукции по критерию «максимум прибыли». .

2. Определите целесообразность следующего изменения ресурсов:

1 вида на + 40; 2 вида на -30; 3 вида на + 50.

Оцените раздельное влияние этих изменений и суммарное.

4. Один из заводов легкой промышленности производит порошок для изготовления напитков трех видов. Один из них продается в качестве напитка здоровья, поскольку имеет низкое содержание сахара; другой напиток поставляется в медицинские учреждения в качестве продукции для больных, поскольку он содержит витаминные добавки; третий напиток является стандартным товаром. В приведенной ниже таблице для каждого напитка указаны исходные данные:

Напиток	Расход ингридиентов на 1 кг продукта, кг			Максималь- ный спрос за неделю, кг	Цена 1 кг напитка, ф. ст.
	Сахар	Солодовый экстракт	Сухие сливки
Стандартный	0,3	0,3	0,35	2000	1,0
Здоровья	0,15	0,25	0,55	1800	1,2
Для больных	0,15	0,3	0,25	1200	1,5
Стоимость 1 кг ингридиентов, ден.ед.	0,2	0,6	0,5
Недельный запас ингридиентов, кг	1000	1250	2200

Запас витаминных добавок неограничен. Издержки производства остальных переменных имеют следующие значения: 0,1 ф. ст. за 1 кг стандартного напитка, 0,09 ф. с. за 1 кг напитка здоровья и 0,12 ф. ст. за 1 кг напитка для больных.

Требуется:

1. Сформулировать модель линейного программирования, целевая функция которой максимизирует общий доход, получаемый за неделю.

2. Определить оптимальный ассортиментный набор и максимальное значение дохода за неделю.

3. Последние исследования потребительского рынка показали, что напиток здоровья приобретает все большую популярность. Новое значение максимального спроса составило 2500 кг в неделю. Каково воздействие этого процесса на оптимальный ассортиментный набор?

4. Администрация компании обдумывает решение о покупке некоторого

дополнительного количества солодового экстракта. Однако, компания будет вынуждена иметь дело с новым поставщиком и покупать сырье по 0,8 ф. ст. за 1 кг. Позволит ли такая мера увеличить еженедельный доход? Если это так, то каково максимальное количество сырья, которое следует закупить у нового поставщика?

5. Прибыль от изделий А, В, С составляет соответственно 3, 4, 5 единиц. Для их изготовления расходуется время работы двух станков, которые можно эксплуатировать 12 и 15 часов в день соответственно. В таблице – нормы времени на изделие:

Станки	Изделия
	А В С
1 2	3 2 3 4 1 2

Найдите оптимальный план по критерию «максимум прибыли».

Назначьте дополнительное время использования станков (1 или 2), не меняющее допустимость решения. Какой должна быть прибыль на одно изделие С, чтобы его изготовление стало выгодным? Как повлияет на оптимальный план принудительное изготовление изделия А?

6. “ Princetown Paints Ltd ” выпускает три основных типа румян: жидкие, перламутровые и матовые – с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Менеджер фирмы разрабатывает план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л товара приведены в таблице (ден. ед.).

	Румяна
	жидкие	перламутровые	матовые
Цена продажи на 100 л	120	126	110
Издержки производства товаров на 100 л:
стоимость сырья	11	25	20
стоимость трудозатрат	30	36	24
стоимость приготовления смеси	32	20	36
другие издержки	12	15	10

Стоимость 1 чел.-ч составляет 3 ден. ед., а стоимость 1 ч приготовления смеси – 4 ден. ед. Фонд рабочего времени ограничен 8000 чел.-ч в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно 5900 ч в неделю.

Требуется:

1. Сформулировать задачу линейного программирования, позволяющую определить объемы производства румян в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли.

2. Определите оптимальные объемы производства продукции в неделю и соответствующее значение прибыли.

3. Рассчитайте, как нужно изменить цену продажи жидких румян, чтобы получить новое оптимальное решение.

4. Предположим, рабочие готовятся к сверхурочной работе за дополнительное вознаграждение в 1 ден. ед. за каждый сверхурочно отработанный час. Целесообразно ли введение сверхурочной работы на таких условиях? Если да, то каковы ваши рекомендации по поводу количества часов сверхурочной работы, которое следует ввести, и какова будет дополнительная прибыль от применения сверхурочной работы?

7. Компания “ Bermuda Paint ” - частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Лак	Цена 1 галлона, ден. ед.	Издержки производства 1 галлона, ден. ед.
Матовый	13,0	9,0
Полировочный	16,0	10,0

Трудозатраты для производства 1 галлона матового лака составляют 6 мин, а полировочного – 12 мин. Фонд рабочего времени равен 400 чел.-ч в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси - 100 унций, тогда как ее расход на 1 галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.

Администрации компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

1. Построить линейную модель и найти решение задачи.

1. Профсоюз компании требует увеличить оплату сверхурочных работ на 20 ден. ед. Сочтет ли администрация целесообразным увеличение времени работы на таких условиях? Если указанный размер оплаты сверхурочных часов является выгодным, то какое количество часов сверхурочных работ в день следует использовать?

2. Для исходной задачи (не учитывающей сверхурочные работы) определите промежуток изменений показателя удельного дохода за 1 галлон полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним.

8. Компания производит различные виды мебели для кабинетов (комплекты А, В, С). Объём работы, необходимой для каждой операции, приводится в таблице.

Операция	Объём работ, чел.-ч./ комплект
	А	В	С
Изготовление частей	2	3	2
Сборка	1	2	3
Полировка и проверка	1	1	2

Максимальный объёма работ в неделю составляет 360 чел.-ч. на изготовление частей мебели, 240 чел.-ч. на сборку и 180 чел.-ч. на полировку. Рынок сбыта расширяется, но он недолговечен, а возможность хранения ограничивают производство 170-ю комплектами в неделю. Прибыль от продажи комплектов составляет соответственно 15, 22, 19 долларов.

1. Постройте модель и прокомментируйте решение.

2. Стоимость сверхурочных работ на каждом этапе производства составляет $4 на 1 чел.-ч. В каких производственных процессах целесообразно использовать сверхурочные работы?

3. В каких пределах может изменяться прибыльность 3-го комплекта при условии сохранения оптимального плана?

4. Стоит ли производить комплект 4-го вида, если он занимает соответственно 1, 2, 3 чел.-ч на операциях и даёт прибыль в 20 долларов?

9. Фирма производит на фабрике 4 вида изделий. Производство лимитируется временем использования станков и количеством комплектующих изделий. Известно, что суммарное время использования станков – 90ч. в день, а комплектующих может быть поставлено не более 80 в день. Исходные данные – в таблице.

Производственные характеристики	Изделия
	1	2	3	4
Время использования станка	1	3	8	4
Количество комплектующих изделий	2	2	1	3
Затраты на производство, дол.	20	25	40	55
Цена изделия, дол.	30	45	80	85

1. Постройте модель по критерию «максимум прибыли» и двойственную модель и найдите решение..

2. Фирма может увеличить время работы станков до 100ч. в день, арендуя оборудование, что будет стоить 40 долларов в день. Рентабельно ли это? Если да, то какой нужен новый план производства?

3. Стоимость одного из видов сырья, используемого для 1 и 3, часто меняется. В данный момент она составляет 80долларов за 10 кг. Изделию 1 требуется 1,25 кг сырья, а изделию 3 – 2,5кг. Цена этого сырья включена в цену изделия. В каких пределах может колебаться цена этого сырья, чтобы план остался оптимальным?

10. Прибыль от изделий А, В, С составляет соответственно 13, 14, 15 единиц. Для их изготовления расходуется время работы двух станков, которые можно эксплуатировать 24 и 30 часов в день соответственно. В таблице – нормы времени на изделие:

Станки	Изделия
	А В С
1 2	5 4 5 6 3 3

Найдите оптимальный план по критерию «максимум прибыли.

Назначьте дополнительное время использования станков (1 или 2), не меняющее допустимость решения. Какой должна быть прибыль на одно изделие С, чтобы его изготовление стало выгодным? Как повлияет на оптимальный план принудительное изготовление изделия А?

11. Фабрика производит три основных вида товаров. Изделие первого вида требует 3 единицы сырья А и единица сырья В; оно приносит прибыль в 3 единицы. Изделию вида 2 требуется 4 единицы сырья А и 3 единицы сырья В; оно приносит прибыль в 6 единиц. Изделию третьего вида требуется единица сырья А и 2 единицы сырья В; это изделие дает прибыль в 2 единицы. Найдите оптимальный план производства, если доступны всего 20 единиц сырья А и 10 единиц сырья В. Если окажется доступной еще одна единица сырья А (или В), какую наибольшую цену следует за нее платить? Какое количество этого сырья Вы желали бы дополнительно закупить?

12. Фирма специализируется на производстве буфетов. Она может производить три типа буфетов (А, В, С), что требует различных затрат труда на каждой стадии производства (см. табл.)

В течение недели можно планировать работу на лесопилке на 360 чел-ч, в сборочном цехе – на 520 чел-ч, в отделочном цехе – на 220 чел-ч.

Производственный участок	Затраты труда, чел-ч на один буфет вида
	А	В	С
Лесопилка	1	2	4
Сборочный цех	2	4	2
Отделочный цех	1	1	2

Прибыль от продажи буфетов составляет соответственно 9, 11, 15 долл. Найдите оптимальный план выпуска буфетов по критерию максимум прибыли.

Для выполнения обязательств по организации интерьера гостиниц необходимо производить по крайней мере 10 буфетов типа С еженедельно. Как это дополнительное требование повлияет на решение?

13. Аудитории и лаборатории университета рассчитаны не более чем на 5000 студентов. Университет не принимает более 4000 студентов своей страны, но разрешает прием любого количества иностранных студентов.

Персонал университета составляет 440 человек. Для обучения 12 студентов данной страны и 10 иностранных студентов требуется один преподаватель. Необходимо, чтобы 40% студентов данной страны и 80% иностранных студентов могли разместиться в аудиториях, где имеется 2800 мест. Университет получает 2000 фунтов стерлингов в год из правительственных средств на каждого студента своей страны и берет плату в размере 3000 фунтов стерлингов в год за каждого иностранного студента.

Предположив, что единственной целью университета является максимизация прибыли. Определите, какой прием студентов своей страны и иностранных студентов следует планировать. Покажите, что максимальный годовой доход составит 11850000 фунтов стерлингов в год.

Университет может нанять дополнительный персонал с годовым окладом 10000 фунтов стерлингов. Выгодно ли это?

14. Прибыль от изделий А, В, С составляет соответственно 3, 4, 5 единиц. Для каждого изделия требуется время использования станков I и II, которые доступны соответственно 12 и 15ч в день:

А В С

I 3 2 3

II 4 1 2

Найдите оптимальный план производства. Назначьте дополнительное время использования станка I (II).

Найдите пределы изменения прибыли от реализации изделий, сохраняющие оптимальный план, а также изменения в выпуске продукции при условии, что изменения прибыли не соответствуют установленным пределам.

15. Автозавод выпускает две модели: «Каприз» и (более дешевую) «Фиаско». На заводе работает 1000 неквалифицированных и 800 квалифицированных рабочих, каждому из которых оплачивается 40 часов в неделю. Для изготовления модели «Каприз» требуется 30 часов неквалифицированного и 50 ч квалифицированного труда; для «Фиаско» требуется 40 часов неквалифицированного и 20 ч квалифицированного труда. Каждая модель «Фиаско» требует затрат в размере 500 дол. на сырье и комплектующие изделия, тогда как каждая модель «Каприз» требует затрат в размере 1500 дол.; суммарные затраты не должны превышать 900000 дол. в неделю. Рабочие, осуществляющие доставку, работают по пять дней в неделю и могут забрать с завода не более 210 машин в день.

Каждая модель «Каприз» приносит фирме 1000 дол. прибыли, а каждая модель «Фиаско» – 500 дол. прибыли. Какой объем выпуска каждой модели Вы бы порекомендовали? Что бы Вы порекомендовали для повышения прибыли фирмы?

16. Фирма производит на фабрике 4 вида изделий. Производство лимитируется временем использования станков и количеством комплектующих изделий. Известно, что общее время использования станков – 90 ч в день, а комплектующих изделий может быть поставлено не более 80 в день.

Производственные характеристики	Изделие
	I	II	III	IV
Время использования станков, ч	1	3	8	4
Количество комплектующих, шт.	2	2	1	3
Себестоимость изделия, дол.	20	25	40	55
Цена изделия, дол.	30	45	80	85

Найдите оптимальный план выпуска продукции, позволяющий получить максимальную прибыль.

Фирма может увеличить время работы станков до 100 ч в день, арендуя оборудование, что обойдется в 40 долл. в день. Рентабельно ли это; если да, то каким будет новый план производства?

Беспорядки на заводе одного из потребителей приводят к тому, что дневной выпуск изделия IV должен быть сокращен до 15 единиц. Воспользуйтесь двойственным симплекс-методом для составления нового производственного плана.

17. Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем работы оборудования. Для каждого изделия модели А требуется 3м² досок, а для изделия В – 4м². Фирма может получить от своих поставщиков до 1700м² досок в неделю. На каждое изделие модели А требуется 12 мин. Машинного времени, а на изделие В – 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а изделие В – 4 дол. прибыли, сколько изделий каждой модели фирме необходимо выпускать в неделю?

Предположим, что появилась возможность приобрести дополнительное сырье у второго поставщика. Сколько ему можно заплатить за 1м²?

Допустим, имеется возможность получения дополнительного машинного времени. Выгодно ли это, если 1 ч машинного времени стоит 7 долл.?

18. Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем работы оборудования. Для каждого изделия модели А требуется 3м² досок, а для изделия В – 4м². Фирма может получить от своих поставщиков до 1700м² досок в неделю. На каждое изделие модели А требуется 12 мин. Машинного времени, а на изделие В – 30 мин. В неделю можно использовать 160 ч машинного времени. Если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а изделие В – 4 дол. прибыли, сколько изделий каждой модели фирме необходимо выпускать в неделю?

Предположим, что в период экономического кризиса торговые агенты сообщают, что рынок примет не более 450 полок в неделю. Как это отразится на производстве?

Пусть оказалось возможным изготовить полки типа С и пусть для изготовления одной полки этого типа необходимо 4м² материала и требуется 20 мин машинного времени. Прибыль от одного изделия С составляет Р дол. При каком значении Р выпуск полок типа С окажется выгодным? Как изменится оптимальный план, если запланировать изготовление полок С?

19. Компания производит сверлильные станки трех видов Д1, Д2, Д3. Каждый вид приносит соответственно 10, 10 и 30 дол. прибыли. Количество станков, которое может быть произведено в течение недели, ограничено поставками комплектующих изделий К1, К2, К3, причем для Д1 требуется 1 шт. К1, 4 шт. К2 и 2 шт. К3; для Д2 – 2 шт. К1, 3 шт. К2 и 3 шт. К3; для Д3 – 10 шт. К1, 10 шт. К2 и 8 шт. К3. Каждую неделю можно использовать 650, 850, 650 шт. К1, К2, К3 соответственно. Определите максимальную прибыль, которую можно получать каждую неделю, и покажите, что выгоднее всего производить одинаковое количество станков Д1, Д2, Д3.

Компания обращается в комиссию по ценам за разрешением повысить цены до такой степени, чтобы они давали 20%-ное увеличение прибылей от всех моделей. Рассмотрев вопрос, комиссия разрешает увеличение цен на станки Д1, Д2, но настаивает на таком ограничении цены на станок Д3, при котором прибыль от продажи станка Д3 уменьшилась бы на 10%. Покажите. Что оптимальный план производства, основанный на этих данных о прибыли, приведет к 20%-ному увеличению общей прибыли.

Руководство компании связано соглашением, которое обеспечивает занятость 300 рабочих. Если возможности производства позволяют одному рабочему в течение недели произвести 1 станок Д1 или 1 станок Д2, а пяти рабочим – 1 станок Д3, то как это соглашение повлияет на новое решение? Покажите, что максимальное увеличение прибыли составит 11 % от исходной прибыли.

20. Компания импортирует красные вина трех марок:

Марка красного вина	Цена 1 бутылки, ф.ст.	Количество импортируемых бутылок в год
Французское бургундское	1,08	100000
Французское бордо	0,96	130000
Испанское красное	0,50	150000

Красные вина смешиваются для получения столовых вин трех марок:

Марка столового вина	Содержание красного вина, %		Максимальное кол-во продаваемых бутылок в год	Цена 1 бутылки, ф.ст.
Божеле	30(бургундское)	50(испанское красное)	200000	1,96
Нюи-Сент-Жорж	30(бургундское)	30(испанское красное)	Не ограничено	2,46
Сент-Эмильон	60 (бордо)	30(испанское красное)	180000	2,08

Сформулируйте задачу как ЗЛП и решите ее, считая, что прибыль – единственное, что интересует компанию. Выполните двойственный анализ.

21. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из 4 видов производимых товаров. Затраты ресурсов на единицу продукции, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов приведены в таблице:

Вид ресурса	Затраты ресурсов на единицу товара				Объем ресурсов
	1	2	3	4
Сырье, кг	3	5	2	4	60
Рабочая сила, ч	22	14	18	30	400
Оборудование, станко-ч	10	14	8	16	128
Прибыль, грн./ ед.	30	25	56	48

Определите оптимальный план выпуска по критерию максимум прибыли. Как повлияет на максимальную прибыль увеличение каждого из видов ресурсов на единицу.

Определите изменения в оптимальном плане (если они будут иметь место) при увеличении ресурсов сырья на 50%, а ресурсов рабочей силы и оборудования на 30%.

Определите оптимальную программу при дополнительном условии: первого товара выпускать не более 5 ед., а второго – не менее 8 ед.

22. Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, бюро и книжные шкафы. При их изготовлении используются 2 вида досок, причем фабрика имеет в наличии 1500 м досок 1 типа и 1000 м досок 2 типа. Количество трудовых ресурсов, занятых производством этой продукции, составляет 800 чел-ч. В таблице приведены нормативы затрат каждого из видов ресурсов на изготовление 1 ед. изделия и прибыль на 1 ед. изделия:

Ресурсы	Затраты ресурсов на 1 ед. изделия
	стол	стул	бюро	книжн. шкаф
Доски 1 типа, м	5	1	9	12
Доски 2 типа, м	2	3	4	1
Труд, чел-ч	3	2	5	10
Прибыль, грн./шт.	120	50	150	100

Определите оптимальный ассортимент, максимизирующий прибыль.

Фабрика может дополнительно приобрести доски 1-го типа по 1,2 грн./м и 2-го типа по 0,8 грн./м. Кроме того, можно увеличить количество трудовых ресурсов за счет сверхурочной работы, производя дополнительную оплату каждого часа в сумме 8 грн. Увеличение какого из видов ресурсов наиболее целесообразно?

Как повлияет на решение изменение прибыли рассматриваемых изделий?

23. Фабрика “GRM plc” выпускает два вида каш для завтрака – “Crunchy” и “Chewy”. Используемые для производства обоих продуктов ингридиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В следующей таблице указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства 1 т продукта:

Цех	Необходимый фонд рабочего времени, чел-ч		Общий фонд рабочего времени, чел.-ч в месяц
	“Crunchy”	“Chewy”
Производство	10	4	1000
Добавка приправ	3	2	360
Упаковка	2	5	600

Доход от производства 1 т “Crunchy” составляет 150 ф.ст, а от производства “Chewy” – 75 ф.ст. В настоящее время нет никаких ограничений на возможные объемы продаж.

1. Определите объем выпуска продукции, максимизирующий общий доход фабрики за месяц.

2. Исполнительный директор корпорации “GRM plc” принял решение об увеличении фонда рабочего времени посредством введения сверхурочной работы служащих корпорации. Джой Дисон собрал следующую информацию о стоимости сверхурочной работы и вероятной ее продолжительности по каждому из трех цехов:

Цех	Стоимость 1 обычного чел-ч, ф.ст.	Стоимость 1 чел-ч сверхурочной работы, ф.ст.	Максимально возможное число сверхурочных чел-ч в месяц
Производство	4,50	6,50	150
Добавка приправ	4,75	6,50	100
Упаковка	3,50	4,50	80

Для того чтобы свести к минимуму административную работу. Джой Дисон принял решение о том, что сверхурочную работу следует ввести только в одном из цехов, по крайней мере на первое время. Используя имеющуюся информацию, требуется принять решение о том, в каком цехе следует ввести сверхурочную работу, и каково максимальное число сверхурочных человеко-часов для данного цеха.

24. Китайская компания с ограниченной ответственностью по производству гусеничных механизмов выпускает 5 сходных друг с другом товаров: А,Б,В,Г,Д. В следующей таблице представлены расходы ресурсов, необходимых для выпуска единицы каждого продукта, известны также издержки, связанные с использование каждого вида ресурсов:

Ресурсы	Расход ресурсов на ед. продукта вида					Недельный запас ресурсов	Издержки, ден.ед./ед ресурса
	А	Б	В	Г	Д
Сырье, кг	6	6,5	6,1	6,1	6,4	35000	2,1
Сборка, ч	1	0,75	1,25	1	1	6000	3
Обжиг, ч	3	4,5	6	6	4,5	30000	1,3
Упаковка, ч	0,5	0,5	0,5	0,75	1	4000	8
Цена, ден. ед.	40	42	44	48	52

Определите для компании по производству гусеничных механизмов оптимальный план производства на неделю. Опишите последствия реализации этого плана с точки зрения недоиспользуемых ресурсов и вклада отдельных компонент в общую прибыль.

Есть предложение, что компании следует производить дополнительный продукт, цена которого составит 50 ф. ст. за единицу. Производство единицы этого продукта требует 6 кг сырья, а также затрат рабочего времени в 1 ч для производства, 5 ч для обжига, 1 ч для упаковки. Целесообразна ли реализация этого предложения?

25. Компания “Crown Chemical” выпускает три вида химикатов (Ростик, Сеноупур, Телтрейт), используя три вида сырья. Необходимая информация – в таблице.

Продукт	Удельный расход сырья (кг) вида				Цена продажи, ден.ед. за ед. продукции
	1	2	3	4
Ростик	0,4	0	0,3	0,3	35
Сеноупур	0,4	0,2	0,3	0,1	32
Телтрейт	0	0,4	0,2	0,4	45
Дневной запас, кг	200	120	250	150
С/стоимость 1 кг	15	25	16	20

Химические продукты Ростик и Сеноупур можно использовать во многих целях, поэтому рыночный спрос на них превышает производственные мощности. Телтрейт, напротив, предназначен только для специального применения, поэтому максимальный ежедневный спрос на него не превышает 500 кг. Требуется:

1. Сформулировать и решить задачу линейного программирования, позволяющую найти ежедневные объемы производства каждого из трех химикатов таким образом, чтобы прибыль была максимальной.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее решение, сделать выводы.

3. У компании появилась возможность производить четвертый вид продукт – химикат Упелин, который предполагается продавать по 50 ф. ст. за 1 кг. Для производства 1 кг Упелина требуется 0,5 кг сырья второго вида и 0,5 кг сырья 4-го вида. Посоветуйте компании, стоит ли ей производить Упелин.

26. Банк Thriftem, предоставляющий полный набор банковских услуг, находится в процессе формирования портфеля кредитов объемов 12 млн. дол. В следующей таблице представлены возможные типы банковских кредитов.

Тип кредита	Ставка процента	Вероятность безнадежных долгов
Кредиты физическим лицам	0,140	0,10
Кредиты на покупку автомобилей	0,130	0,07
Кредиты на покупку жилья	0,120	0,03
Сельскохозяйственные кредиты	0,125	0,05
Коммерческие кредиты	0,100	0,02

Безнадежные долги считаются невозвратимыми, поэтому они должны вычитаться из возможного дохода.

Конкурентная борьба с другими финансовыми институтами вынуждает банк не менее 40% капитала помещать в сельскохозяйственные и коммерческие кредиты. Для содействия строительной индустрии своего региона банк планирует вложить в кредиты на покупку жилья не менее 50% от общей суммы кредитов физическим лицам, на покупку автомобилей и покупку жилья. Банк также поддерживает государственную политику, указывающую, что отношение безнадежных долгов ко всей сумме кредитов не должно превышать 0,04.

Все кредиты выдаются примерно в одно и то же время, поэтому временной фактор в процессе размещения капитала в разные кредиты можно игнорировать.

Постройте прямую и двойственную модели. Найдите оптимальный план распределения кредитных ресурсов банка, позволяющий максимизировать доход. Сделайте выводы, используя свойства оптимальных оценок.

27. Компания Birdeyes владеет 800 акрами необработанной земли с живописным озером в центре горного массива Озарк. В прошлом освоение территории вокруг озера происходило нерегулярно и понемногу. Сейчас вокруг озера построено много домиков для отдыхающих. Поскольку канализация отсутствует, интенсивно используются септические танки (большие емкости для хранения бытовых отходов). В настоящее время многие септические танки приходят в негодность (текут), поэтому появились проблемы с загрязнением воды в озере.

Чтобы предотвратить дальнейшее загрязнение озера, официальные власти округа разработали строгие ограничительные требования для возможного дальнейшего освоения территории.

1. Разрешается возводить домики только на одну, две или три семьи, причем доля домиков на одну семью должна составлять не менее 50% от всех построенных.

2. Ограничивается количество септических танков: минимальная территория, отведенная для размещения одного танка, обслуживающего один домик на одну, две или три семью, составляет соответственно 2, 3 и 4 акра.

3. Рекреационная зона рассчитывается исходя из нормы – не менее одного акра на 200 семей.

4. Для предотвращения загрязнения озера запрещается использовать поверхностные воды для полива и бытовых нужд.

Дальнейшее освоение земель вокруг озера предусматривает необходимость отведения не менее 15% всей территории на прокладку дорог и строительство вспомогательных сооружений. Компания планирует сдавать домики отдыхающим и рассчитывает получить от одного домика следующую прибыль:

Тип домика	На одну семью	На две семьи	На три семьи
Чистая прибыль ($)	10000	12000	15000

Стоимость планируемой водопроводной сети пропорциональна количеству домиков, подключенных к водопроводу. Однако власти округа настаивают на том, что необходимо собрать не менее $100000, чтобы этот проект был экономически осуществимым. Кроме того, известно, что даже в пиковый период водопроводная сеть не может поставить больше 200000 галлонов воды в день. В следующей таблице приведена стоимость подключения к водопроводной сети одного домика и указана ежедневная потребность в воде одной средней семьи.

Тип домика	На одну семью	На две семьи	На три семьи	Рекреационная зона
Стоимость подключения к водопроводу ($)	1000	1200	1400	800
Потребность в воде (галлон/день)	400	600	840	450

Постройте математическую модель исходной и двойственной задач. Найдите оптимальный план освоения территории, позволяющий иметь максимум прибыли.

28. Компания производит бумажники, кошельки и небольшие рюкзаки. Конструкция всех трех видов изделий предусматривает использование кожи и синтетических материалов, причем кожа является дефицитным материалом. В производственном процессе используются два вида ручных работ: прошивка и зачистка. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производственный процесс, потребность в ресурсах и доход на единицу производимого изделия.

Ресурс	Ресурсы, необходимые для изготовления одного изделия			Ежедневный лимит ресурса
	Бумажник	Кошелек	Рюкзак
Кожа (кв. футы)	2	1	3	42
Прошивка (ч)	2	1	2	40
Зачистка (ч)	1	0,5	1	45
Отпускная цена ($)	24	22	45

1. Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.

2. Для приведенных ниже изменений в предельных значениях доступных ресурсов определите, какие из них сохраняют допустимость текущего решения. В случае сохранения допустимости решения найдите новое оптимальное решение (т.е. значения переменных задачи и величину целевой функции).

1. Ежедневный лимит кожи возрос до 45 кв. футов.

2. Ежедневный лимит кожи уменьшился на 1 кв. футов.

3. Фонд рабочего времени операции прошивки изменился до 38 часов.

4. Фонд рабочего времени операции прошивки изменился до 46 часов.

5. Фонд рабочего времени операции зачистки уменьшился до 15 часов.

6. Фонд рабочего времени операции зачистки увеличился до 50 часов.

7. Следует ли рекомендовать компании набор временных рабочих на операцию прошивки с оплатой $ 15 в час?

29. Компания производит две модели электронных устройств, при изготовлении которых используются резисторы, конденсаторы и микросхемы. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производство этих моделей.

Ресурс	Количество комплектующих на одно изделие		Лимит комплектующих (шт.)
	Модель 1	Модель 2
Резистор	2	3	1200
Конденсатор	2	1	1000
Микросхема	0	4	800
Доход на одно изделие ($)	3	4

1. Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.

2. Определите статус каждого ресурса.

3. В терминах оптимального дохода определите стоимость одного резистора, одного конденсатора и одной микросхемы.

4. Найдите интервал применимости двойственных цен для каждого ресурса.

5. Найдите новое оптимальное решение при условии возрастания числа резисторов до 130.

6. Если количество доступных микросхем будет уменьшено до 350, можно ли будет найти новое оптимальное решение непосредственно из симплекс-таблицы, содержащей оптимальное решение? Обоснуйте свой ответ.

7. В п. 4) был определен интервал устойчивости двойственной оценки для доступного количества используемых конденсаторов. На основании этих данных определите соответствующий интервал изменения оптимального дохода и соответствующие интервалы изменения количества производимых изделий первой и второй модели.

8. Новый контракт позволяет компании закупить дополнительное число резисторов по 40 центов за единицу, но только при условии, что закупочная партия составит не менее 500 единиц. Выгоден ли компании такой контракт?

30. Компания для производства двух видов продукции имеет ежедневный фонд рабочего времени 320 часов и 350 единиц расходных материалов (сырья). При необходимости компания может позволить 10 часов сверхурочной работы с оплатой $ 2 за час. На изготовление одной единицы продукции первого вида требуется 1 час рабочего времени и 3 единицы сырья, а на изготовление одной единицы продукции второго вида – 2 часа рабочего времени и 1 единица сырья. Доход от одной единицы этих продуктов составляет, соответственно, $ 10 и $ 12. Обозначим через Х₁ и Х₂ ежедневные объемы производства продукции первого и второго видов, а через Х₃ – количество используемых сверхурочных часов.

1. Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее оптимальное решение.

2. Определите оптимальные оценки ресурсов и интервалы их устойчивости. Могут ли оптимальные оценки для фонда рабочего времени и сверхурочных работ быть одинаковыми? Почему?

3. Компания может увеличить объем сверхурочных работ за дополнительную плату $ 2 за час. Сколько часов такой сверхурочной работы может ввести компания?

4. Компания ежедневно может получать дополнительных объем сырья в 100 единиц по цене $ 1,5. Стоит ли компании использовать этот резерв сырья? А если стоимость дополнительного сырья будет $ 2 за единицу?

5. Предположим, что компания вынуждена сократить складские площади для сырья и поэтому ежедневно не может использовать более 200 единиц сырья. Найдите для этого случая новое оптимальное решение.

6. Допустим, что компания не может ежедневно использовать более 8 часов сверхурочной работы. Найдите новое решение.

31. Компания производит три вида продукции: Р₁, Р₂, Р₃. В производственном процессе используются материалы М₁ и М₂, обрабатываемые на станках С₁ и С₂. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производственный процесс изготовляемой продукции.

Ресурсы	Единица измерения	Количество ресурсов на единицу продукции			Ежеднев-ный фонд ресурсов
		Р1	Р2	Р3
Время работы станка С1	Минуты	1	2	1	430
Время работы станка С2	Минуты	3	0	2	460
Материал М1	Фунты	1	4	0	420
Материал М2	Фунты	1	1	1	300

Ежедневный объем производства изделия Р₂ должен быть не менее 70 единиц, а изделия Р₃ – не более 240 единиц. Доход на единицу изделий Р₁, Р₂, Р₃ составляет соответственно 300, 200 и 500 долларов.

Руководство компании разрабатывает стратегию для улучшения финансового положения. Имеются следующие предложения.

1. Можно увеличить на 20% доход от изделия Р₃, но при этом уменьшится объем его производства до 210 единиц.

2. Материал М₂ является критическим фактором, ограничивающим текущее производство. Можно приобрести дополнительные объемы этого материала у сторонних поставщиков, но цена его за фунт будет на $ 3 выше, чем у поставщиков, которые обслуживают компанию сегодня.

3. Фонд рабочего времени станков можно увеличить на 40 минут в рабочий день, однако такое увеличение приведет к дополнительной стоимости эксплуатации каждого станка – $ 35 в день.

4. Отдел маркетинга обосновал необходимость увеличения минимального объема производства продукта Р₂ с 70 единиц до 100 единиц.

5. Время обработки единицы изделия Р₁ на станке С₂ можно уменьшить до 2 минут с дополнительной стоимостью $ 4 в рабочий день.

Рассмотрите целесообразность внедрения этих предложений, учитывая, что некоторые из них можно внедрить одновременно.

32. Фабрика игрушек TOYCO собирает три вида игрушек: модели поездов, грузовиков и легковых автомобилей. Ежедневный фонд рабочего времени на каждую операцию ограничен предельными величинами 430, 460 и 420 минут. Доход на одну игрушку каждого вида составляет соответственно $3, $2, $5 соответственно. На каждой из трех операций для сборки модели поезда требуется 1, 3 и 1 минуты рабочего времени. Соответствующее время для сборки моделей грузовиков и легковых автомобилей составляет (2, 0, 4) и (1, 2, 0) минут.

1. Составьте модели прямой и двойственной задач линейного программирования и найдите и прокомментируйте их решение.

2. Фабрика игрушек планирует расширить производство своей продукции путем увеличения возможностей сборочных линий на 40%. Как это повлияет на оптимальный план?

3. Предположим, что стоимость дополнительного времени, выделяемого для первой сборочной операции сверх текущего фонда времени в 430 минут, равна $50 за час. В эту стоимость входит оплата сверхурочных работ персонала и стоимость машинного времени. Будет ли экономически целесообразным использовать дополнительное время для первой операции?

4. Допустим, что фабрика TOYCO проводит новую ценовую политику относительно своих изделий. Каким должен быть доход от производства одной модели поезда, чтобы выпуск этого изделия оказался рентабельным? В каких границах может изменяться доходность моделей грузовика и легкового автомобиля, чтобы решение оставалось оптимальным?

5. Фабрика рассматривает возможность производства еще одного вида игрушек: модели пожарной машины. При сборке этой модели первая операция не используется, а вторая и третья требуют соответственно 1 и 3 минут для сборки одной модели. Порекомендуете ли вы фабрике производить эти игрушки?

33. Менеджер международной банковской организации по инвестициям располагает 550000ф.ст, находящимися на счете банка, которые необходимо инвестировать, и рассматривает следующие способы вложения средств: 1) государственные ценные бумаги; 2) ценные бумаги корпораций; 3) обыкновенные акции отраслей сферы обслуживания; 4) обыкновенные акции отраслей производственной сферы. Целью менеджера является максимизация нормы отдачи вложений, причем размер годовых процентов от инвестиций равен 8, 9, 10 и 12% для вложений вида 1, 2, 3, 4 соответственно. Денежные средства, остающиеся на банковском счете (не инвестированные), приносят 4% годовых.

Менеджер считает, что не менее 50000 ф. ст. следует поместить в ценные бумаги корпораций и что в инвестиционные проекты с элементами риска (т.е. ценные бумаги корпораций и все виды обыкновенных акций) следует вложить не более 300000 ф.ст. Кроме того, он считает, что, по крайней мере, половину общей суммы денежных средств, инвестированных в соответствии с указанными выше типами инвестиций, следует вложить в обыкновенные акции, но при этом в акции отраслей производственной сферы следует поместить не более одной четверти общей суммы инвестиций.

1. Сформулируйте задачу линейного программирования, целевая функция и ограничения которой будут содержать 4 переменные, и решите ее.

2. Определите оптимальный план инвестирования, сумму денежных средств, оставленных на банковском счете, и ежегодный доход от реализации данного плана, выраженный в процентах.

3. Найдите решение двойственной задачи и дайте его экономическое толкование.

34. Администрация компании “Nemesis Company”, осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Аббатсфилде и Берчвуде. Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого – расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, следующее:

Квалификация рабочих Аббатсфилд Берчвуд

Высокая 200 100

Низкая 300 200

Итого 500 300

После слияния завод в Берчвуде должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

Совместно с профсоюзом были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, попавшие под сокращение штатов, получат выходные пособия. Размер пособия для квалифицированных рабочих составляет 2000 ф. ст. на человека, для неквалифицированных рабочих – 1500 ф.ст.

2. Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере 2000 ф.ст.

3. Доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии должна совпадать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.

Требуется:

1. Построить модель линейного программирования, которая будет определять, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, связанные с увольнением и переменой места жительства части рабочих.

2. Решить задачу и выполнить двойственный анализ решения.

35. Консервный завод перерабатывает за смену 60000 фунтов спелых помидоров (7 пенсов за фунт) в томатный сок и пасту. Готовая продукция пакетируется в упаковки по 24 банки. Производство одной банки сока требует одного фунта спелых помидоров, а одной банки пасты – трети фунта. Заводской склад может принять за смену только 2000 упаковок сока и 6000 упаковок пасты. Оптовая цена одной упаковки томатного сока составляет $18, одной упаковки томатной пасты – $9.

1. Найдите оптимальную структуру производства консервного завода, построив модель линейного программирования и решив соответствующую задачу.

2. Определите и прокомментируйте оптимальную оценку дополнительного фунта помидоров.

3. Изменится ли оптимальное решение, если склад сможет принимать большее количество упаковок томатного сока? А при увеличении емкости склада для упаковок томатной пасты?

4. Найдите новое оптимальное решение, если завод уменьшит объем перерабатываемых помидоров до 50000 фунтов за смену.

5. Останется ли текущее решение оптимальным, если цена одной упаковки томатного сока уменьшится до $15, а цена одной упаковки томатной пасты возрастет до $10?

6. Найдите новое оптимальное решение, если завод будет перерабатывать за смену 80000 фунтов помидоров, а склад сможет принять до 7000 упаковок томатной пасты.

36. Четыре изделия последовательно обрабатываются на двух станках. Данные, описывающие этот технологический процесс, приведены в следующей таблице.

Станок	Стоимость часа работы, ($)	Время обработки одного изделия (часы)				Максимальная нагрузка (часы)
		1	2	3	4
1	10	2	3	4	2	500
2	5	3	2	1	2	380
Цена единицы изделия ($)		65	70	55	45

1. Сформулируйте задачу линейного программирования и найдите ее решение.

2. Предположим, что увеличить нагрузку на станки можно только за счет сверхурочной работы. Какую максимальную стоимость часа сверхурочной работы каждого станка может позволить компания?

3. Какую максимальную стоимость машинного часа можно применить при обработке третьего изделия, чтобы его продажа приносила хоть какую-то прибыль?

4. Предположим, что в исходной модели цены на изделия 1, 3 и 4 возросли до $80, $65 и $60 соответственно. Определите границы цены изделия 2, в пределах которых сохраняются текущие значения переменных (т.е. найденное ранее оптимальное решение).

5. В исходной модели нагрузка на первый станок возросла до 550 часов. Определите границы для нагрузки второго станка, сохраняющие текущее решение.

Транспортная задача

37. Компания «Уют» производит пластмассовую мебель для отдыха на открытом воздухе. Основной продукт компании – стулья. Производство находится в Можайске, Наро-Фоминске и Туле. Сейчас на складе в Можайске находятся 7250 стульев, в Наро-Фоминске – 10150, в Туле – 4350. Основными потребителями продукции компании «Уют» фирмы по оптовой продаже в Москве, Санкт-Петербурге, Минске и Воронеже. Сейчас эти фирмы готовы закупить соответственно 8800, 5800, 2900 и 2100 стульев. Удельные затраты на перевозку стульев (в руб./шт) указаны в следующей таблице:

1). Помогите компании «Уют» составить план транспортировки стульев потребителям.

2). Стало известно, что для сбыта в Москве не годятся стулья, сделанные в Туле, а для сбыта в Санкт-Петербурге – стулья из Наро-Фоминска (не подходит цвет стульев). Составьте новый план перевозок с учетом этих условий. Насколько увеличатся при этом совокупные транспортные издержки?

38. Организация располагает набором однородных технических средств в количестве 30 единиц, которые размещаются в трех базах (А_i), при этом на первой и второй базах имеется по 11 единиц техники, а на третьей – 8 единиц. Использование этой техники планируется на четырех объектах (B_j), причем первый объект нуждается в 5 единицах, второй и третий объекты – в 9 единицах каждый, а четвертый – в 7 единицах техники. Эффективность эксплуатации технических средств зависит от того, насколько интенсивно они используются, т.е. чем меньше простои, тем выше эффективность. В следующей таблице – простои техники (часов в неделю):

Разработайте план распределения машин по объектам, используя модель транспортной задачи.

39. Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет 4 карьера (С), производительность которых соответственно равна: 170, 150, 190 и 200 тыс.т. ежемесячно. Железная руда направляется на 3 принадлежащие этой компании обогатительные фабрики (S). Мощности которых соответственно 250, 150, 270 тыс.т в месяц. Транспортные расходы (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице: