1.6. Стоячие волны

Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград.

Пусть уравнения бегущей и отражённой волн имеют вид

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны

. (1.40)

Из (1.40) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой

, (1.41)

являющейся периодической функцией координаты x.

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны. Значения координат пучностей

, ( m = 1,2,3...). (1.42)

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением

. (1.43)

Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно

, (1.44)

и называется длиной стоячей волны.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, тогда как все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны для разных моментов времени представлено на рис.1. 9.

Рис. 1.9

В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну встречные волны переносят энергию в равных количествах в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседними узлом и пучностью, не зависит от времени: она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.

2. Лабораторный практикум по механическим колебаниям и волнам

2.1. Исследование законов колебательного движения физического маятника и определение ускорения свободного падения.

Лабораторная работа № 1.11

Цель работы: измерение периода колебаний математического и физического маятников; определение приведенной длины физического маятника и величины земного ускорения.

Оборудование: универсальная установка FRM-04, содержащая математический маятник, оборотный физический маятник, фотоэлектрический датчик, электронный секундомер и метрическую линейку.

Описание установки и методика измерений.

Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити и совершающую колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Согласно данному определению, математический маятник является идеализированной системой. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Физический маятник – абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через его центр тяжести С (рис.1.1)

Малые колебания математического и физического маятников практически являются гармоническими, т.е. совершающимися по закону:

,

где φ – угол отклонения маятника к моменту времени t от положения равновесия (угловая координата), φ_m – угловая амплитуда.

При этом период колебаний

. (1.1)

Здесь l – длина нити подвеса в случае математического маятника, а в случае физического маятника - так называемая приведенная длина, где этом I – момент инерции физического маятника относительно оси О, m – его масса, l_c – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С маятника. Точка подвеса – основание перпендикуляра, опущенного из точки С на ось вращения.

Точка О₁ на прямой, соединяющей точку подвеса О с центром масс С, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. В нем можно сосредоточить всю массу m маятника, не изменяя его периода. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Общий вид универсального маятника представлен на рис.1.2. Основные элементы установки: 1 – физический маятник; 2 – математический маятник; 3-электронный милли- секундомер; 4 – фотоэлектрический датчик. Маятники закрепляются на кронштейне 5, который может поворачиваться вокруг стойки 6 и фиксироваться в любом положении винтом 7.

В качестве математического маятника используется металлический шарик 2, подвешенный на двух расходящихся нитях. Длину математического маятника можно регулировать при помощи ролика 8. Физический маятник выполнен в виде стального стержня 9, на котором крепятся повернутые друг к другу лезвиями две призмы 10 и дополнительные грузы 11. На стержне для определения размеров маятника через каждые 10 мм выполнены кольцевые канавки, которые позволяют четко фиксировать положение ножей и грузов на стержне. На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие функциональные элементы: СЕТЬ – включение, выключение сети; СБРОС – установка нуля и начало отсчета; СТОП – окончание процесса отсчета; ПЕРИОД – количество полных колебаний; ВРЕМЯ – продолжительность колебаний.

Фотоэлектрический датчик смонтирован на кронштейне 12. Он содержит электрическую лампочку и фотоэлемент, включенный на вход универсального миллисекундомера.

Нижний кронштейн можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в произвольном положении. На нём закреплена шкала 13 для измерения угловой амплитуды φ_m колебаний маятника.