1.2.2. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одной частоты

Пусть колебания совершаются вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей х и y. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем уравнения колебаний в виде

, (1.9)

, (1.10)

где - разность фаз складываемых колебаний.

Исключив из данных уравнений параметр t, получим уравнение траектории результирующего движения точки:

. (1.11)

Уравнение (1.11) представляет собой уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно оси координат.

Рассмотрим частные случаи:

1) При =0 уравнение (1.11) принимает вид

. (1.12)

Видно, что точка колеблется вдоль отрезка прямой, причём расстояние от начала координат изменяется по закону

. (1.13)

Таким образом, результирующее колебание является также гармоническим.

2) При результирующее колебание также является гармоническим и совершается вдоль прямой, описываемой уравнением

. (1.14)

3) При уравнение (1.11) становится уравнением эллипса, приведённого к координатным осям:

. (1.15)

При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность

1.3. Затухающие колебания и их характеристики

Рассмотрим реальную механическую систему (например, пружинный маятник), в которой действуют силы трения. При малых колебаниях сила вязкого трения пропорциональна скорости. Тогда дифференциальное уравнение колеблющегося пружинного маятника можно записать в следующем виде

, (1.16)

где r- коэффициент сопротивления; k-коэффициент упругости.

Уравнение (1.16) может быть приведено к стандартному виду, называемому дифференциальным уравнением затухающих колебаний

, (1.17)

где = r/2m - коэффициент затухания; - собственная частота колебаний системы.

Решение уравнения (1.17) имеет вид

, (1.18)

где - частота затухающих колебаний.

График функции (5.18) показан на рис. 1.4. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по закону

. (1.19) Период затухающих колебаний определяется формулой . (5. 20)

Рис. 1.4 Рис.1.5

С ростом коэффициента затухания  период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом коэффициенте затухания . При процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис. 1.5).

Основные характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации  -время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

, , (1.21)

2) логарифмический декремент затухания, представляющий логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.

, (1.22)

где N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз;