- •Ряды для чайников. Примеры решений
- •Сходимость числовых положительных рядов Необходимый признак сходимости ряда
- •Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши
- •Радикальный признак Коши
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости ряда
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений
Ряды для чайников. Примеры решений
Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел, и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.
Рекомендую следующий порядок изучения темы:
1) Ряды для чайников (эта статья). 2) Признак Даламбера. Признаки Коши. 3) Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Понятие числового положительного ряда
В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: . Здесь: – математический значок суммы; – общий член ряда (запомните этот простой термин); – переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа.
В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто: – и так далее, до бесконечности.
Будем считать, что ВСЕ слагаемые – это неотрицательные ЧИСЛА. То есть, на данном уроке речь пойдет о положительных числовых рядах.
Пример 1
Записать первые три члена ряда Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.
Сначала , тогда: Затем , тогда: Потом , тогда:
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:
Пример 2
Записать первые три члена ряда
Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока
Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:
Пример 3
Записать первые три члена ряда
На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:
Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то естьне выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.
Иногда встречается обратное задание
Пример 4
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть. В данном случае: Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.
А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:
Пример 5
Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде