![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •6.Интегрирование простейших типов уравнений второго порядка методом понижения порядка.
- •8. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •§9 Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.
- •§11. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •§12 Неоднородные линейные уравнения высших порядков
§11. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Пусть имеем уравнение:
,
(1)
где
-
действительные числа.
Мы разобрали как решается соответствующее линейные однородные уравнение. Вся трудность состоит в нахождении частного решения данного линейного неоднородного уравнения. Иногда частное решение можно найти проще , не прибегая к интегрированию. Рассмотрим эти случаи.
I) Пусть правая часть уравнения (1) представляет произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид
(2)
где ¤ - многочлен n-ой степени. Возможны следующие частные случаи:
а) Число
не
является корнем характеристического
уравнения
В этом случае частное решение нужно искать в виде
(3)
Подставим
в уравнение (1) и сократим все члены на
,
получим
(4)
-
многочлен n-ой
степени
-
многочлен n-1-ой
степени
-
многочлен n-2-ой
степени
В равенстве (4)
слева и справа стоят многочлены n-ой
степени. Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях x,
получим систему (n+1)
уравнений для определения коэффициентов
.
б) Число - однократный корень характеристического уравнения .
Выражение
и
левая часть равенства (4) есть многочлен
(n-1)-ой
степени . Для того , чтобы равенство (4)
стало тождеством в частном решении
многочлен нужно брать (n+1)-й
степени, т.е.
в)
Число
-
двукратный корень характеристического
уравнения. В этом случае
и
и левая часть равенства (4) есть многочлен
(n-2)-ой
степени . Частное решение ищут в виде
Примеры.
1)
не совпадает с корнем характеристического уравнения
коэффициент
при
Общее
решение :
2)
совпадает с одним корнем характеристического уравнения
коэффициент
при
A=1
Общее
решение :
II) Пусть правая часть имеет вид
,
(5)
где
,
-
многочлен от х.
Форма частного решения определяется так:
а) если
не является корнем
характеристического уравнения, то
частное решение уравнения (1) следует
искать в виде
,
(6)
где
и
-
многочлены , степень которых равна
наивысшей степени многочленов
и
б) если есть корень характеристического уравнения , то частное решение ищут в виде
,
(7)
Пусть правая часть имеет вид
(8)
где M, N-постоянные числа
а)
если
не является корнем характеристического
уравнения , то частные решение ищут в
виде
(9)
б) если является корнем характеристического уравнения, то частные решение ищут в виде
(10)
Замечание
правая часть
может содержать только тригонометрическую
функцию, т.е. либо
,
либо
равны
нулю; или
или
равны
нулю. Частное решение ищут всегда в виде
Примеры.
не совпадает с
корнями характеристического уравнения
коэффициент
при
Общее
решение:
2)
-
не совпадает с корнями
характеристического
уравнения
Коэффициент
при е-х
соsx
Коэффициент
при е-х
соsx
Общее решение