Еще пример задания:
Сколько различных решений имеет система уравнений
(X1 X2) (¬X1 ¬X2) (X1 X3) = 1
(X2 X3) (¬X2 ¬X3) (X2 X4) = 1
...
(X8 X9) (¬X8 ¬X9) (X8 X10) = 1
где x1, x2, …, x10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение (табличный метод):
количество комбинаций 10 логических переменных равно 210 = 1024, поэтому вариант с построением полной таблицы истинности отпадает сразу
перепишем уравнения, используя более простые обозначения операций
...
заметим, что по свойству операции эквивалентности
,
поэтому уравнения можно переписать в
виде
...
сделать замену переменных так, чтобы новые переменные был независимы друг от друга, здесь довольно затруднительно, поэтому будем решать уравнения последовательно табличным методом
рассмотрим все возможные комбинации первых двух переменных X1 и X2, и сразу попытаемся для каждой из них подобрать значения третьей так, чтобы выполнялось первое уравнение :
X3
X2
X1
?
0
0
?
0
1
?
1
0
?
1
1
очевидно, что в первой и последней строчках таблицы, где
,
значения X3 могут
быть любыми, то есть каждая из этих
строчек дает два решения; в то же время
во второй и третьей строках, где
,
мы сразу получаем, что для выполнения
первого равнения необходимо
,
то есть, эти две строчки дают по одному
решению:X3
X2
X1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
заметим, что количество решений для каждой строчки исходной таблицы (с двумя переменными) определялось лишь тем, равны значения в двух последних столбцах (X2 и X1) или не равны;
также заметим, что в новой таблице в самой верхней и самой нижней строках значения X3 и X2 равны, а в остальных не равны (их 4 штуки); поэтому на следующем шаге (при подключении четвертой переменной и третьего уравнения) верхняя и нижняя строки дадут 2 варианта с равными X4 и X3, и 2 + 4 = 6 вариантов, где X4 и X3 не равны
в общем виде: если на шаге i в таблице решений есть
ni строк, где значения в двух самых левых столбцах таблицы равны, и …
mi строк, где значения в двух самых левых столбцах таблицы не равны,
то на следующем шаге будет столько же (ni) строк с равными значения в двух самых последних столбцах и ni+mi строк с неравными значениями
эту последовательность можно записать в виде таблицы (i – число задействованных переменных):
i
всего решений
3
2
4
6
4
2
2+4=6
8
5
2
2+6=8
10
6
2
2+8=10
12
7
2
2+10=12
14
8
2
2+12=14
16
9
2
2+14=16
18
10
2
2+16=18
20
таким образом, для системы с 10 переменными общее количество решений равно 2 + 18 = 20
ответ: 20 решений