§3. Вектор скорости.
Для характеристики быстроты движения вводится понятие скорости.
Определение: Средней скоростью движения точки за интервал времени от доназывается векторная величина равная отношению приращения радиус-вектора точки за этот промежуток времени к его продолжительности.
- средняя скорость.
Определение: Скорость (или мгновенная скорость) точки называется векторная величина, равная первой производной по времени от радиус-вектора.
Вектор скорости характеризует движение, как по величине, так и по направлению. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения.
Определение: Модуль скорости равен первой производной по времени от пройденного пути.
Разложим вектор скорости по базису прямоугольной декартовой системы координат:
, гдеVx, Vy, Vz проекции вектора скорости на соответствующую ось, которые соответственно равны:
где - это иксовая проекция радиус-вектора материальной точки.
В координатном представлении вектор скорости имеет вид:
Модуль вектора скорости в координатном представлении:
Обратное соотношение.
Представим радиус вектор скорости посредством определенного и неопределенного интеграла:
где t, t0 – начальный и конечный момент времени.
Представление пройденного пути через модуль скорости посредством определенного и неопределенного интеграла.
§4. Вектор ускорения.
Для характеристики быстроты изменения вектора скорости точки в механике вводится понятие ускорения.
Определение: Среднее ускорение за интервал времени от доназывается векторная величина равная отношению приращения вектора скорости точки за данный интервал времени к его величине.
Определение: Ускорение (или мгновенное ускорение) точки называется векторная величина, численно равная первой производной по времени от скорости рассматриваемой точки или, что то же самое, вторая производная по времени от радиус-вектора этой точки:
Ускорение можно ввести через предел от среднего ускорения:
Две введенные записи ускорения являются эквивалентными.
Разложим вектор ускорения по базису прямоугольной декартовой системы координат:
где ax, ay, az – проекции вектора ускорения на ось.
Координатное представление модуля вектора ускорения:
Обратные соотношения:
;
Рассмотрим движение материальной точки вдоль плоской кривой. Ускорение всегда направлено внутрь вогнутости кривой или траектории. Введем два единичных вектора: , который направлен по касательной к траектории и- направлен перпендикулярно траектории в центр кривой.
;
Разложим вектор ускорения по заданным направлениям.
- касательное ускорение.
Определение: Касательное ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по модулю.
- векторное представление.
- скалярное представление.
- нормальное ускорение.
Определение: Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению и вычисляется по формуле:
-где R- радиус кривизны траектории в точке М
Если траектория – окружность, то R – радиус окружности.
В скалярном представлении:
Из свойств составляющих полное ускорение следует, что полное ускорение направленно в сторону вогнутости траектории.
Модуль полного ускорения равен:
Аналогично для вектора полного ускорения: