6. Функции нескольких переменных.

6.1 Найти частные производные функции

Решение:

6.2 Найти частные производные второго порядка функции

Решение: Так как , то

6.3 Найти полный дифференциал функции .

Решение:

6.4 Найти полный дифференциал функции

Решение:

5. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).

Решение:

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

6.6 Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.

Решение: Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

6.7 Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0

Решение:

Таким образом, функция имеет экстремум в точке .

6.8 Вычислить производную функции z = x² + y²x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0). Вычислить градиент этой функции в точке А.

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 .

Далее определяем модуль этого вектора: =

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Тогда градиент функции имеет вид:

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования: =

За величину принимается орт вектора .

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cos = ; cos = -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .

6.9. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Область определения — вся числовая плоскость , дифференцируема в каждой точке .

1. Определим стационарные точки .

Отсюда

Получили три стационарные точки:

2. Эти точки исследуем на достаточность условий экстремума. Сначала определим отдельно

А теперь для каждой точки вычислим соответствующие , определим знаки величин и .

1. , т.е. не является точкой экстремума.

2. т.е. не является точкой экстремума.

3. . При этом . Вывод: — точка локального минимума функции с

Ответ:

6.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями: , , ,

Решение.

Здесь , . Находим все критические точки: Решением системы являются точки .

Ни одна из найденных точек не принадлежит области .

2. Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков .

На участке где ,

. Значения функции .

На участке , ,

. Значения функции .

На участке ,

. Значения функции .

На участке , ,

. Значения функции .

3. Сравнивая полученные результаты, имеем: .

6.11. Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число точек . Требуется построить прямую с уравнением , чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек в смысле наименьших квадратов.

X	-1	0	1	2	3	4
Y	0	2	3	3,5	3	4,5

Для того, чтобы построить прямую, «сглаживающую» данные точки (они не лежат на одной прямой). Для этого достаточно решить систему уравнений . Для удобства расчетов строим рабочую таблицу

№
1 2 3 4 5 6	-1 0 1 2 3 4	0 2 3 3,5 3 4,5	1 0 1 4 9 16	0 0 3 7 9 18	0,81 1,55 2,29 3,03 3,77 4,51	0,81 -0,45 -0,71 -0,47 0,77 0,01	0,6561 0,2025 0,5041 0,2209 0,5929 0,001
	9	16	31	37			2,1766

Первый столбец обозначает номер по порядку записи точек. Из сумм столбцов при составляются коэффициенты системы для определения параметров и прямой . Система имеет вид:

Решим ее методом определителей (Крамера):

Искомое уравнение .