2011/2012

Математика

ИВТ

2 Семестр Тренировочные задачи и упражнения

1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Теория пределов.

1.1 Доказать, что предел последовательности lim .

Решение. Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

1.2 Доказать, что последовательность {x_n}= монотонная возрастающая.

Решение. Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

1.3 Найти предел .

Решение. При подстановке значения х, получаем неопределенность . Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на х⁴:

1.4 Найти предел .

Решение. При подстановке значения х, получаем неопределенность . Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

1.5 Найти предел

Решение. При подстановке значения х, получаем неопределенность . Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

= .

6. Найти предел .

Решение. Для вычисления предела воспользуемся Первым замечательным пределом

1.7 Найти предел .

Решение. Для вычисления предела воспользуемся Вторым замечательным пределом

1.8 Найти предел

Решение. Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х  0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

1.9 Найти предел .

Решение.

Так как 1 – cosx = при х0, то .

1.10 Найти предел .

Решение. Так как ~ при , то

1.11 Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

Решение.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Дифференцирование функций.

1.12 Найти производную функции .

Решение. Сначала преобразуем данную функцию:

1.13 Найти производную функции .

Решение.

13. Найти производную функции

Решение.

14. Найти производную функции

Решение.

1.15 Найти производную функции .

Решение. По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

1.16 Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение. Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения следует, что , т.е.

.

117 Пусть . Найти .

Решение. Имеем , следовательно , т.е. .

1.18 Найти производную второго порядка для функции .

Решение. Найдем сначала производную первого порядка данной функции:

Полученный результат продифференцируем еще раз: