3.3. Расчет цикла Карно для реального газа

     Проведем расчет к.п.д. цикла Карно для реального газа, уравнение состояния которого имеет вид:

     

,

(3.14)

     а внутренняя энергия задается формулой

     

.

(3.15)

     Необходимо отметить, что феноменологическая термодинамика, основанная на использовании общих принципов или начал, использует конкретный вид этих функций, полученных из результатов экспериментов или рассчитанных с помощью методов статистической физики.

     Для рассматриваемого случая реального газа можно получить уравнение адиабаты. Подстановка формул (3.14) и (3.15) уравнение для адиабатического процесса: , позволяет получить дифференциальное уравнение

     

,

(3.16)

     интегрирование которого дает уравнения адиабат для процессов 2-3 и 4-1 (см. рис. 3.7) в виде:

     

,

(3.17)

     

.

(3.18)

     Уравнения (3.17) и (3.18) могут быть разрешены в явном виде относительно переменных и:

     

,

(3.19)

     

,

(3.20)

     или относительно переменных и:

     

,

(3.21)

     

.

(3.22)

     Для изотермических процессов 1-2 и 3-4 запишем общие выражения для получаемой и отдаваемойтеплоты:

     

     

,

(3.23)

     

     

.

(3.24)

     В этих формулах учтено то, что для реального газа при изотермическом процессе может происходить изменение внутренней энергии.

     Тогда в соответствии с формулой (3.2) имеем выражение для к.п.д. цикла Карно

     

.

(3.25)

     Подставляя в эту формулу выражения для ииз уравнений(3.21) и (3.22) имеем

     

.

(3.26)

     Аналогично подстановка в формулу (3.25) выражений для ииз уравнений(3.19) и (3.20) дает

     

.

(3.27)

     Сравнение выражений (3.26) и (3.27) приводит к тождеству:

     

,

(3.28)

     которое может выполняться при произвольных значениях ,,итолько в том случае, если функцииипредставляют собой одинаковые зависимости от температурии не зависят соответственно от,и,.

     Следовательно, к.п.д. цикла Карно тепловой машины, в которой в качестве рабочего тела используется реальный газ, является функцией температуры нагревателя и холодильникаи может быть записан в виде

     

.

(3.29)

     Отметим, что проведенный анализ не позволяет сделать заключение о зависимости или независимости конкретного вида этой функции от физико-химических свойств рабочего тела.

     Задача 3.4. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела один моль реального газа, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса. Использовать уравнение состояния и выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса.

     Решение: Подстановка в формулу (3.16) приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса дает:

     

.

     Полученное выражение может быть приведено к виду:

     

,

     где введено обозначение:

     

.

     Интегрирование полученного дифференциального уравнения дает уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса:

     

.

     Применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:

     

,

     

,

     которые в свою очередь дают:

     

.

     Далее, подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражений для функций и , и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую и отводимую теплоты:

     

,

     

.

     Подстановка этих выражений в формулу (3.2), с учетом полученного выше соотношения для объемов, дает выражение для к.п.д. машины Карно, при использовании в ней газа Ван-дер-Ваальса:

     

.

     Нетрудно видеть, что эта формула полностью совпадает с выражением (3.13) для к.п.д. машины Карно, использующей идеальный газ.

     Задача 3.5. Рассчитать к.п.д. термодинамического цикла Карно для тепловой машины, использующей в качестве рабочего тела фотонный газ. Использовать уравнение состояния и выражение для внутренней энергии фотонного газа. Термодинамический цикл Карно для фотонного газа приведен на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Термодинамический цикл Карно для фотонного газ

     Решение: Фотонный газ представляет собой электромагнитные волны, заполняющие объем, ограниченный стенками, нагретыми до некоторой температуры .

     Применение формулы (3.16) для приведенных в условии задачи выражений для уравнения состояния и внутренней энергии фотонного газа позволяет получить дифференциальное уравнение адиабатического процесса:

     

.

     Данное дифференциальное уравнение преобразуем к виду:

     

.

     Интегрирование этого дифференциального уравнения позволяет записать уравнение адиабаты фотонного газа в форме:

     

.

     Тогда, применение этого уравнения для двух адиабатических процессов позволяет получить условия:

     

,

     

,

     из которых следует:

     

,

     

.

     Подстановка в формулы (3.23) и (3.24) выражения для функций и из условия задачи, и выполнение интегрирования позволяет вычислить подводимую и отводимую теплоты:

     

,

     

.

     Тогда по формуле (3.2) имеем

     

.

     Учет полученных выше соотношений между объемами , и , позволяет записать к.п.д. машины Карно, рабочим телом которой является фотонный газ, в виде:

     

.

     Как следует из проведенных расчетов к.п.д. машины Карно одинаков при использовании в ней в качестве рабочего тела идеального газа, газа Ван-дер-Ваальса и фотонного газа.