15.2. Вынужденные колебания

Свободные колебания реальной колебательной системы является, как мы выяснили, затухающими. Чтобы возбудить в такой системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления (трения). Это можно осуществить, воздействуя на систему переменной внешней силой , изменяющейся по гармоническому закону

. (8)

Возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы колебания, называются вынужденными механическими колебаниями.

Рассмотрим вынужденные колебания пружинного маятника. В этом случае на маятник действуют одновременно три силы: квазиупругая ( ), сила сопротивления ( ) и внешняя вынуждающая ( ). Согласно второго закона Ньютона, закон движения для пружинного маятника запишется в виде

. (9)

Учитывая, что собственная частота колебаний и коэффициент затухания , придем к дифференциальному уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника

. (10)

Опыт показывает, что по истечении некоторого времени (с момента начала действия вынуждающей силы) в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отличающиеся от нее по фазе на 

. (11)

Решение уравнения, как доказывается в математике, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного уравнения:

. (12)

Общее решение однородного уравнения описывает затухающие колебания, которые по истечении некоторого времени практически исчезают. Нас будет интересовать только частное решение, соответствующее установившимся колебаниям. Задача сводится к определению постоянных А и  в уравнении (11). Для этого продифференцируем это выражение дважды по времени:

;

и подставим в исходное уравнение (10). Сумма трех гармонических функций в левой части уравнения (10) должна быть равной функции :

. (13)

Учитывая фазовые сдвиги между х, и , представим это равенство с помощью векторной диаграммы (для случая ) (рис. 15.2).

Из диаграммы по теореме Пифагора следует, что

,

откуда амплитуда установившихся колебаний

. (14)

Рис. 15.2

Из диаграммы видно, что отставание смещения по фазе на  от вынуждающей силы определяется как

(15)

и

.

Формулы (14) и (15) показывают, что амплитуда А установившихся колебаний и отставание смещения по фазе на  от вынуждающей силы определяется свойствами самого осциллятора ( , ) и вынуждающей силы ( , ), но не начальными условиями. Таким образом, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой  и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (14) и (15) также зависят от  - частоты вынуждающей силы. Графически вынужденные колебания представлены на рис. 15.3.

Рис. 15.3

15.3. Амплитудные резонансные кривые. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты  вынуждающей силы. Из формулы (14) следует, что амплитуда А смещения имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту – частоту, при которой амплитуда А смещения достигает максимума, нужно найти экстремум (максимум) подкоренного выражения в формуле (14). Для этого продифференцируем подкоренное выражение по  и приравняв его нулю, получим условие, определяющее :

.

Это равенство выполняется при и , у которых только положительное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

. (16)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.

При значение практически совпадает с собственной частотой колебательной системы.

Подставляя выражение (16) в формулу (14), получим выражение для амплитуды при резонансе

. (17)

На рис. 15.4 приведены резонансные кривые – зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях .

Чем меньше затухание системы, тем боле ярко выражен резонанс, тем правее лежит максимум данной кривой. При , все кривые достигают одного и того же значения , которое называют статическим отклонением. При все кривые асимптотически стремятся к нулю.

Рис. 15.4

Явление резонанса играет огромную роль в физике и технике. Его используют, если нужно усилить колебания, и, наоборот всячески избегают, если резонанс может привести к нежелательным усилениям колебаний. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.