14.5. Уравнение бегущей волны

Бегущими волнами называют волны, которые переносят в пространстве энергию.

Перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии – вектором Умова.

, (8)

где - скорость волны; - объемная плотность энергии колебательного движения.

Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную направлению распространения волны.

Поток энергии – энергия, переносимая волнами через некоторую поверхность в единицу времени:

. (9)

Плотность потока энергии волн - поток энергии, переносимый волной через единичную площадку, расположенную направлению распространения волны:

. (10)

Интенсивность волны – это модуль среднего значения вектора Умова.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси . В общем случае уравнением волны называется зависимость смещения колеблющейся частицы от координаты и времени.

, (11)

где , , - координаты равновесного положения частицы.

Рассмотрим плоскую волну, предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут оси , смещение будет зависеть только от и т.е.

. (12)

Пусть колебания точек плоскости имеют вид

. (13)

Найдем вид этой функции для произвольного значения . До плоскости волна идет время .

Следовательно, колебания точек на этой плоскости будут отставать по времени от колебаний источника на это время .

Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости , имеет вид:

. (14)

Итак: уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию:

, (15)

где - амплитуда волны; - циклическая частота; - начальная фаза волны; - фаза плоской волны.

Для характеристики волн используют волновое число:

, .

Тогда уравнение плоской гармонической волны:

или с учетом

.

Уравнение обратной волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси , отличается только знаком .

Зафиксируем некоторое значение фазы волны

.

Это выражение дает нам связь между координатой и временем , для которых фаза имеет фиксированное значение.

Получим скорость фазы . Для этого продифференцируем выражение

.

Полученное выражение

,

поделим на  и разделим переменные:

.

.

Тогда скорость перемещения фазы волны – фазовая скорость

.

Мы получили, что скорость, с которой перемещается фиксированное значение фазы, совпадает со скоростью распространения волны, следовательно, - фазовая скорость.

Уравнение сферической волны

.

Амплитуда этой волны убывает с расстоянием по закону .

Записанное уравнение справедливо для , значительно превышающих размеры источника колебаний – точечного источника.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением

или

,

где - фазовая скорость; - оператор Лапласа.

Решение этого уравнения – уравнение любой волны. Например, для плоской волны волновое уравнение имеет вид

.

Решением является уравнение плоской волны

.