14.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Гармоническое колебание величины :

.

Первая производная от :

. (4)

Вторая производная от :

. (5)

Вывод: 1) получили гармонические колебания той же циклической частоты; 2) амплитуды и равны, соответственно, и ; 3) фаза отличается от фазы на ; 4) фаза отличается от фазы на .

Таким образом при , принимает максимальное значение; при , принимает максимальное значение (рис. 14.2).

Рис. 14.2

Запишем вторую производную от х:

;

( );

Тогда, дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

(6)

или

. (7)

Решением этого уравнения является выражение (3).

14.4. Упругие волны

Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной) распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой.

Среда рассматривается как сплошная, т.е. среда, непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волной. При распространении волны частицы среды колеблются около своих равновесных положений.

Основное свойство всех волн независимо от их природы – перенос энергии без переноса вещества. Вместе с волной от частицы к частице передается состояние колебательного движения и его энергия.

По физической природе волны бывают упругие (или механические), волны на поверхности жидкости, электромагнитные.

Упругие волны по ориентации возмущений относительно направления распространения волны бывают продольные и поперечные.

По форме волновых поверхностей волны бывают плоскими и сферическими.

Продольные волны – волны, в которых частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

Продольные волны могут распространятся в среде, где возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. в твердых телах, жидкостях и газах.

Поперечные волны – волны, в которых частицы колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные волны могут распространятся в среде, где возникают упругие силы при деформациях сдвига, т.е. в твердых телах.

Таким образом, в жидкостях и газах возникают только продольные волны, в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц являются гармоническими.

График гармонической волны, распространяющейся со скоростью вдоль оси изображен на рис. 14.3.

Рис. 14.3

Это зависимость между смещением частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием этих частиц от источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени .

Рисунок задает мгновенную картину распределения возмущения вдоль направления распространения волны.

Отличие графиков гармонических волн и колебаний. Эти графики различны по существу: график волны определяет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени; график колебания – зависимость смещения данной частицы от времени.

Длина волны – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период

,

.

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает новые области пространства.

Волновым фронтом называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени .

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Волновых поверхностей можно провести множество, а волновой фронт в любой момент времени – один.

Волновой фронт также является волной поверхностью.

Волновые поверхности могут быть плоскими или сферическими. Соответственно волны бывают плоскими или сферическими.

Луч – прямая, волновой поверхности и совпадающая с направлением переноса энергии волной.

Плоские волны – волны, для которых волновые поверхности – совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Сферические волны – волны, для которых волновые поверхности – совокупность концентрических сфер.