Определение
Тангенс угла наклона прямой к оси называется угловым коэффициентом этой прямой, а уравнение (6) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Замечание 1
В уравнении (6) число
представляет собой ординату точки
пересечения прямой с осью
.
Если
,
то уравнение
задает прямую, проходящую через начало
координат.
Замечание 2
Если прямая параллельна оси
,
т. е.
,
то угловой коэффициент не определен, и
уравнение прямой не может быть записано
в виде (6).
Замечание 3
Если прямая, параллельная
оси
(т. е
),
задана общим уравнением
,
то разрешая это уравнение относительно
,
получим уравнение с угловым коэффициентом
.
Здесь
,
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
Пусть прямая проходит через
точку
и угловой коэффициент этой прямой равен
.
Тогда ее уравнение имеет вид
.
Определим неизвестную величину
.
Для этого подставим координаты точки
в уравнение прямой:
,
откуда
.
Теперь уравнение примет вид
,
т. е.
.
Такое уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.
Пример
Представить уравнение прямой
в различных видах (с угловым коэффициентом
и в отрезках).
Решение
Разрешим уравнение относительно :
.
Полученное
уравнение – уравнение прямой с угловым
коэффициентом
.
Для получения уравнения
прямой в отрезках перенесем свободный
член
в правую часть уравнения и разделим обе
части на
:
.
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
1. Рассмотрим сначала две
прямые
и
,
заданные общими уравнениями
и
.
Задача об определении угла
между прямыми сводится к задаче об
определении угла
между их нормальными векторами
и
:
.
Условие параллельности прямых равносильно условию коллинеарности их нормальных векторов:
.
Условие перпендикулярности прямых равносильно условию ортогональности их нормальных векторов:
.
2. Пусть теперь прямые и заданы каноническими уравнениями
и
.
Аналогично предыдущему случаю
определение угла между прямыми сведется
к задаче определения угла
между их направляющими векторами
и
:
.
Условие параллельности прямых и :
.
Условие перпендикулярности прямых и :
.
3. Пусть прямые и заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
и
.
Если
и
- углы наклона прямых
и
к оси
,
а
-
угол между этими прямыми (для определенности
будем отсчитывать его от прямой
к
(рис. 6)), то
.
Рис. 6.
Таким образом,
.
Прямые
и
параллельны, если тангенс угла между
ними равен нулю (
).
Следовательно, условием параллельности
прямых будет равенство
.
Если прямые
и
перпендикулярны, то тангенс угла между
ними не существует, т. е. знаменатель
дроби
обращается в ноль. Получаем, что условием
перпендикулярности прямых в этом случае
будет равенство
.
Пример 1
При каких значениях прямые
и
будут: (а) параллельны, (б) перпендикулярны?
Решение
(а). Так как координаты нормальных векторов параллельных прямых пропорциональны, то
,
откуда
.
(б). Скалярное произведение нормальных векторов перпендикулярных прямых равно нулю:
,
Откуда
.
Пример 2
Треугольник
задан вершинами
,
,
.
Написать общие уравнения стороны
,
высоты
,
медианы
.
Решение
Уравнение стороны найдем как уравнение (5) прямой, проходящей через две точки и :
,
откуда
.
Высота
перпендикулярна стороне
,
следовательно, вектор
является нормальным для прямой
.
Тогда ее уравнение запишем как уравнение
прямой, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
,
т. е.
,
или
.
Точка
медианы
является серединой стороны
.
Найдем ее координаты:
,
т. е
.
Тогда уравнение прямой
,
откуда
.