3.3). Найти общее решение уравнения
.
(3.10)
Решение. Функции
и
— однородные функции второго порядка
однородности, поэтому данное уравнение
является однородным. Используя замену
(9), из которой
,
а
,
записываем данное уравнение в виде
.
Разделяя переменные, получим
.
Интегрируя обе части последнего равенства
и учитывая, что
,
находим
,
откуда имеем
.
Возвращаясь к исходной функции
,
получаем общий интеграл уравнения
(3.10) в виде
.
Интегральные кривые уравнения (3.10)
представляют собой семейство окружностей
с центрами на оси
,
проходящих через начало координат.
Задания для самостоятельного решения
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
. 3.14.
.
Ответы.
3.8.
.
3.9.
.
3.10.
.
3.11.
.
3.12.
.
3.13.
.
3.14.
.
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее первой производной:
.
(3.11)
Здесь
и
— заданные непрерывные функции. Уравнение
(3.11), в котором
,
называется линейным неоднородным, а
уравнение
(3.12)
называется линейным однородным, соответствующим данному неоднородному уравнению (3.11).
Первый способ решения линейного
неоднородного уравнения – метод
подстановки. Он заключается в том,
чтобы искать функцию
в виде произведения двух функций
.
(3.13)
3.4). Решить уравнение
.
(3.14)
Решение. Это уравнение является
линейным, поэтому его решение ищем с
помощью подстановки (13), из которой
находим
.
В результате уравнение (14) приобретает
вид
,
или
.
(3.15)
Для упрощения последнего равенства
сомножитель
будем искать таким, чтобы
(равенство нулю множителя при функции
в уравнении (3.15)). Заметим, что это
последнее условие является однородным
уравнением, соответствующим линейному
неоднородному уравнению (3.14). Кроме
того, как и любое уравнение вида (3.12),
оно является уравнением с разделяющимися
переменными:
,
,
,
.
Найденная функция является частным
решением уравнения. В данном случае
достаточно иметь хотя бы одну функцию
,
обращающую в ноль выражение в круглой
скобке в уравнении (3.15). Далее, подставляя
найденный сомножитель
в уравнение (3.15), получаем
,
отсюда
,
,
.
Заметим, что при определении второго
сомножителя константа интегрирования
обязательно учитывается. И, наконец, по
формуле (3.13) записываем общее решение
уравнения (3.14):
.
Второй способ решения линейного
неоднородного уравнения называется
методом вариации произвольной
постоянной. Он заключается в том, что
вначале решается однородное уравнение
(3.12), которое, как мы отметили, является
уравнением с разделяющимися переменными.
Легко получить его общее решение:
,
,
.
Далее, решение уравнения (3.11) ищем,
полагая
некоторой функцией переменной
:
.
Таким образом, при решении неоднородного
уравнения (3.11) мы варьируем, изменяем
постоянную, входящую в общее решение
уравнения (3.12).