Теорема (необходимый признак существования экстремума).
Если
- точка экстремума (максимума, или
минимума) функции
,
в которой она имеет частные производные,
то
.
При этом надо заметить, что функция
может иметь экстремум также и в тех
точках, где хотя бы одна из частных
производных не существует. Точки, в
которых первые частные производные
и
обращаются
в нуль или не существуют, называются
критическими. Точки, в которых
частные производные существуют и равны
нулю, называются стационарными.
Пусть
- стационарная точка функции
.
Значения вторых производных функции в
стационарной точке обозначим так:
,
,
.
Из этих чисел составим определитель
.
Теорема (достаточные условия экстремума).
Если
и
,
то
- точка максимума.Если и
,
то
- точка минимума.Если
,
то
не является точкой экстремума.
4. Если
,
то точка
может как быть, так и не быть точкой
экстремума,
2.13).Найти точки экстремума и экстремальные значения функции
.
Найдем частные производные
и
.
Приравнивая эти производные нулю,
получаем систему уравнений
Ее решениями являются следующие четыре
стационарные точки:
.
Теперь вычислим вторые частные производные
данной функции
,
,
и составим определитель
.
Найдем значения этого определителя в
каждой из полученных стационарных
точек:
1.
.
Поэтому
- точка минимума.
2.
,
в точке
экстремума нет.
3.
,
в точке
экстремума нет.
4.
,
- точка максимума.
Подставляя координаты двух экстремальных
точек
и
в данную функцию, получим
- минимум,
- максимум.
Задания для самостоятельного решения
Найти области определения следующих функций:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
Определить линии уровня и построить
некоторые из них при
для следующих функций:
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
2.9.
.
2.10.
.
Найти частные производные следующих функций, записать полный дифференциал:
2.11.
.
2.12.
.
2.13.
.
2.14.
.
2.15.
.
2.16.
.
2.17.
.
2.18.
.
2.19.
.
Найти частные производные второго порядка.
2.20.
.
2.21.
.
.2.22.
.
2.23.
.
2.24. Вычислить производную функции
в точке
по направлению вектора
.
2.25. Найти производную функции
в точке
в
направлении, составляющем с осью
угол
.
Определить направление максимального
роста данной функции в данной точке.
2.26. Найти направление максимального
роста функции
в точке
.
2.27. Найти производную по направлению
биссектрисы первого координатного угла
в точке
функции
.
2.28. Найти градиент функции
в точке
.
Исследовать на экстремум следующие функции:
2.29.
.
2.30.
.
2.31.
.
2.32.
.
2.33.
.
2.34.
.
Ответы:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
и
.
2.5.
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
2.9.
.
2.10.
.
2.11.
.
2.12.
.
2.13.
.
2.14.
.
2.15.
.
2.16.
.
2.17.
.
2.18.
.
2.19.
.
2.20.
,
,
.
2.21.
,
,
.
2.22.
,
,
.
2.23.
,
,
.
2.24.
.
2.25.
,
.
2. 26.
.
2.27.
.
2.28.
.
2.29.
- точка минимума. 2.30. Точек экстремума
нет.
2.31.
- точка минимума. 22.32.
- точка максимума.
2.33.
- точка минимума. 2.34. Точек экстремума
нет.
Контрольная № 2.Функции нескольких переменных.
1. Найти область определения функции и изобразить ее на плоскости .
2. Определить линии уровня функции,
изобразить некоторые из них при
.
3. Найти частные производные , данной функции, записать ее полный дифференциал.
4. Вычислить частные производные второго порядка.
5. Вычислить градиент и производную
функции в данной точке
по направлению
.
6. Исследовать функцию на экстремум. Определить точки максимума и минимума, вычислить максимальные и минимальные значения данной функции.
Вариант 1.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 2.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 3.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 4.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 5.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 6.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 7.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 8.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 9.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 10.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 11.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 12.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 13.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 14.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 15.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 16.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 17.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 18.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 19.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 20.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 21.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Вариант 22.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 23.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 24.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 25.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 26.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 27.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 28.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
Вариант 29.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
Вариант 30.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
3. Дифференциальные уравнения
Общие понятия
Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента – одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит какие - либо ее частные производные по этим аргументам, то оно называется дифференциальным уравнением с частными производными.
Порядком дифференциального уравнения
называется наивысший порядок содержащейся
в этом уравнении производной искомой
функции. Например, уравнение
,
где
– независимая переменная, а
– искомая функция, является обыкновенным
дифференциальным уравнением третьего
порядка. Уравнение
,
в котором
и
– две независимые переменные, а
- искомая функция этих переменных,
является дифференциальным уравнением
с частными производными второго порядка.
В настоящих методических указаниях рассматриваются некоторые из основных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, а само решение дифференциального уравнения называется его интегралом, график этого решения принято называть интегральной кривой.
Решение дифференциального уравнения называется общим, если оно содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, а функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными решениями этого уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого
порядка, в котором
– независимая переменная,
– неизвестная функция,
– производная неизвестной функции,
имеет следующий общий вид
(3.1)
В том случае, когда производную удается выразить через остальные переменные, дифференциальное уравнение первого порядка приобретает вид
(3.2)
или, в случае когда
,
форму, содержащую дифференциалы:
(3.3)
Задачей Коши называют задачу
нахождения решения
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего начальному условию
(3.4)
где
и
- заданные числа, начальные значения.