Теорема о существовании и единственности решения Задачи Коши (3.2),(3.4).

Если в уравнении (3.2) функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (3.4).

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением. Особое решение не может быть получено из формулы общего решения (общего интеграла) ни при каких числовых значениях произвольной постоянной.

Например, одним из решений уравнения является функция - одно из его частных решений. Формула , где С – произвольное действительное число, дает множество всех решений этого уравнения, т.е. является его общим решением. Функция и ее частная производная определены и непрерывны во всей плоскости . Потому через каждую точку этой плоскости проходит единственная интегральная кривая – частное решение данного дифференциального уравнения. Например, Задача Коши:

имеет единственное решение , найденное из общего решения данного дифференциального уравнения при подстановке в него начальных значений: , , что позволяет определить конкретное значение произвольной постоянной .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (2) его правая часть имеет вид , то в этом случае оно называется уравнением с разделяющимися переменными и решается методом “разделения” переменных.

В частности, если уравнение (2) имеет вид , т.е. , то в результате интегрирования обеих частей этого уравнения его общее решение дается формулой , где С – произвольная постоянная.

3.1). Пусть - количество радиоактивного вещества - радия еще не распавшегося к моменту времени t. Установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества с коэффициентом пропорциональности k. При условии, что в начальный момент времени масса радия была , выяснить период его полураспада – промежуток времени, за который распадается половина его первоначальной массы.

Решение. Поиск ответа на поставленный в этом Примере вопрос сводится к решению Задачи Коши:

(3.5) – (3.6)

Знак минус в правой части уравнения (3.5) обусловлен убыванием функции x(t) c течением времени. Уравнение (3.5) является уравнением с разделяющимися переменными. Умножая обе его части на , получаем уравнение с разделенными переменными . Интегрируя обе части которого получаем , или . Т.е. общее решение уравнения (3.5) имеет вид . Произвольную постоянную С (С> 0) определим так, чтобы было выполнено начальное условие (6): , т.е. .

Таким образом, функция является решением задачи (3.5) – (3.6).

Единица измерения времени – год. Период полураспада находим, решая уравнение . Итак, . В частности, так как для радия , то лет.

3.2). Решить Задачу Коши:

(3.7)-(3.8)

Решение. Функция определена и непрерывна в области

. Производная не определена в точках оси , поэтому в любой окрестности точки (1,0) не выполняются условия Теоремы о существовании и единственности решения Задачи Коши. Действительно, с одной стороны, разделяя переменные в уравнении (7) получим и, проинтегрировав обе части последнего равенства, находим общее решение в виде . Геометрически – это множество правых ветвей парабол (т.к. ) с вершинами в точках (-С,0). С другой стороны, исключаемая при разделении переменных в уравнении (3.7) функция , является очевидным решением этого уравнения, которое должно быть названо особым. Ни при каких значениях произвольной постоянной С оно не может быть получено из формулы общего решения. Таким образом, через точку (1,0) проходят по крайней мере две интегральные кривые: и . Кроме того, интегральными кривыми являются также линии АОBD, при любых и , и , … . Итак, поставленная задача Коши (3.7) – (3.8) имеет бесконечное множество решений.

Задания для самостоятельного решения

Найти общие решения дифференциальных уравнений

3.1. . 3.2. . 3.3. .

Найти решение задачи Коши.

3.4. 3.5. .

3.6.

Найти общее и особые решения уравнения.

3.7.

Ответы.

3.1. . 3.2. . 3.3 .

3.4. . 3.5. . 3.6. .

3.7. .

Однородные дифференциальные уравнения

Функция называется однородной порядка однородности , если для любого числа (такого, что ) выполняется условие: . Например, - однородная функция третьего порядка однородности.

Уравнение (3) называется однородным дифференциальным уравнением, если коэффициенты и являются однородными функциями одинакового порядка однородности. Уравнение в виде (2) также может быть названо однородным, если - однородная функция нулевого порядка однородности ( ).

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными введением новой искомой функции

. (3.9)