
Работа № 1 определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника
Цель работы: определение ускорения свободного падения в месте нахождения исследователя (географической широте) с помощью физического оборотного маятника.
Приборы и принадлежности: маятник универсальный, миллисекундомер.
Теоретическая часть
Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением, которое принято обозначать буквой g. Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на любое тело массы m действует сила P = mg, называемая силой тяжести.
Ускорение свободного падения g является важной величиной в описании многих механических процессов. Обычно в расчетах принято использовать g = 9,8 м/с2, однако она не является постоянной величиной, а зависит от места измерения: географической широты, высоты поднятия над уровнем моря, залежей руды в данной местности. Определить величину g можно с помощью приборов – гравиметров, в основе которых лежит маятник.
Физическим маятником может быть
любое твердое тело (см. работу № 2),
совершающее под действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной горизонтальной
оси, проходящей через точку подвеса, не
совпадающей с центром масс тела. Если
точка подвеса совпадает с центром масс
тела, то тело находиться в положении
безразличного равновесия и
никакие колебания совершаться не могут
(центр масс – воображаемая точка,
в которой можно сосредоточить всю массу
тела и рассматривать движение тела, как
движение этой точки). При малой
амплитуде колебаний маятника их период
выражается формулой:
,
(1)
где I – момент инерции тела, m – его масса, g – ускорение свободного падения, а – расстояние между точкой подвеса О и центром масс С (рис. 1).
Математическим называют
физический маятник, который представляет
собой материальную точку массой m,
подвешенную на невесомом твердом стержне
длиной
.
Под материальной точкой понимается
физический объект, в геометрическом
смысле эквивалентный математической
точке, но обладающий массой. Тело,
размерами и формой которого можно
пренебречь в данной задаче, можно считать
материальной точкой. Примером может
служить маленький металлический шарик,
подвешенный на длинной тонкой нерастяжимой
нити. Период колебаний такого маятника
определяется соотношением:
.
(2)
Выражение (1) можно привести к виду (2), если применить подстановку:
,
(3)
где величина
называется приведенной длиной
физического маятника. Таким образом,
если приведенная длина физического
маятника равна длине математического
маятника, то периоды колебаний обоих
маятников одинаковы.
На прямой, проходящей через центр масс С и точку подвеса О физического маятника, выделяют еще одну точку – центр качания (точка D на рис. 1). Эта точка находится на расстоянии от точки подвеса (при условии, что центр масс лежит между указанными точками). Основное свойство центра качания физического маятника состоит в том, что период колебаний физического маятника не изменяется при переносе точки подвеса в центр качания. Прежняя точка подвеса становится новым центром качания, а прежний центр качания – новой точкой подвеса, т. е. точка подвеса и центр качаний обратимы.
Использование
произвольных физических
маятников
удобно для определения аномалий величины
g в различных точках поля тяготения.
При определении же самого значения g
возникает трудность точного вычисления
момента инерции маятника.
Это затруднение устраняется в методе Бесселя, в котором из расчетных формул исключается момент инерции маятника. Метод основан на свойстве обратимости точки подвеса и центра качания физического маятника, поэтому его еще называют методом оборотного маятника. Используемый физический маятник обычно представляет собой стержень с двумя призмами (O, D) и двумя грузами (А, В) (рис. 2).
По теореме Гюйгенса – Штейнера момент инерции I маятника относительно произвольной оси равен:
I = I0 + ma2, (4)
где I0 – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс, m – масса маятника, а – расстояние между центром масс и точкой подвеса, через которую и проходит произвольная ось.
Пусть маятник совершает колебания относительно точки подвеса О, расположенной на расстоянии а1 относительно центра масс С (рис. 2). Период колебаний маятника в соответствии с (1) и (4) будет определяться как:
.
(5)
Если маятник перевернуть и подвесить его в некоторой точке D, расположенной на расстоянии а2 по другую сторону от центра масс С и лежащей на прямой, проходящей через точки О и С, то новый период колебаний будет определяться аналогично (5):
.
(6)
Используя выражения (5) и (6) можно получить формулу для расчета g:
(7)
Меняя
положение грузов А и В на стержне
маятника, можно добиться того, чтобы
при перевешивании (перевороте) маятника
с одной точки подвеса О на другую (точка
D, см. рис. 2) период его
колебаний не изменялся (Т1
= Т2 = Т0).
Тогда вторая точка подвеса (точка D)
станет центром качания. Из этого следует,
что расстояние между точками O
и D станет приведенной
длиной физического маятника, то есть
а1 + а2 =
.
С учетом этого окончательное выражение
для g принимает вид:
(8)
Экспериментально найти сопряженные точки с необходимой точностью нелегко и практически всегда Т1 Т2. Из выражений (7) и (8) следует, что:
(9)
Из выражения (9) видно, что ошибка в определении g, связанная с неточным равенством Т1 и Т2, будет меньше, если значения а1 и а2 существенно отличаются друг от друга. При этом незначительное изменение положения грузов приведет к значительному изменению периода колебаний.