1 Мета і задачі лабораторних робіт

Лабораторні роботи з дисціпліни “Основи системного ана­лізу” для сту­дентів спе­­­ці­альності “Гідротехнічне будівництво” мають за мету одер­­жання сту­дентами практичних навичок з розроблення математичних моделей об’єк­тів та систем (ГТБ), їх ана­лі­зу, розроб­ленню про­­грам і рішенню задач оптимізації параметрів інженерних сис­тем ГТБ за допо­мо­гою ЕОМ.

Виконання індивідуальних завдань з аналізу, моделювання і оптимізації на ЕОМ сприяє засвоєнню студентами основ системного аналізу, математичного мо­де­лю­­вання, дає уявлення про оптимізаційні розрахунки, скорочує час на виконання тру­до­­містких розрахунків при проектуванні та експлуатації систем ГТБ.

2 Основні вимоги до лабораторних робіт

Лабораторні роботи виконується студентами протягом навчального семестру на заняттях, відповідно до індивідуальних завдань. До завдання дається список дже­рел, у яких міститься стисла теоретична інформація, схеми і методики розрахунків і по­си­лання на додаткову літературу.

Основою для успішного виконання лабораторних робіт є теоретичні поло­жен­ня лекційного курсу, основна і додаткова технічна література. Кінцевим результатом є оформлення результатів лаботраторної роботи у вигляді звіту і подання його на пе­ре­вірку у встановлені терміни з подальшим захистом.

Звіт з лабораторної роботи повинен містити такі розділи:

1. Вступ.

2. Опис роботи моделюємого об'єкту і теоретичні положення його розрахунку.

3. Математична модель.

4. Вибір критерію ефективності і його аналіз на можливість рішення задачі оптимізації.

5. Вибір оптимізуємих параметрів і обмежень на них.

6. Обгрунтування вибору й опис алгоритму пошуку оптимальних рішень. Блок - схема і програма оптимізації.

7. Результати оптимізаційних розрахунків: програми, таблиці, малюнки і графіки.

8. Висновки по роботі.

9. Перелік використаних джерел.

У вступі необхідно коротко відбити значення й область застосування методів аналізу, мате­ма­тичних моделей і методів оптимізації в теплоенергетиці й основні принципи мате­ма­тичного моделювання.

Математична модель повинна являти собою систему інтегральних, дифе­ренційних або алгебраїчних рівнянь, що описують фізичні процеси, які відбуваються у моделюємому об'єкті.

Зазвичай ця система містить у собі:

• рівняння зберігання енергії;

• рівняння зберігання маси;

• рівняння зберігання кількості імпульсу;

• рівняння теплопередачі;

• рівняння масовіддачі.

Принципи побудови моделей теплоенергетичних установок докладно розглянуті в [1, 3, 7, 5, 13] і викладати їх у даних методичних вказівках нема потреби.

ЛAБОРАТОРНА РОБОТА № 1 АНАЛIЗ ЧУТЛИВОСТI СИСТЕМ ГТБ

Тривалiсть роботи - 4 год.

1. МЕТА РОБОТИ: Для системи ГТБ, оператор дiї i номiнальнi умови роботи якої заданi, провести аналiз чутливостi.

2. ЗАГАЛЬНI ПОЛОЖЕННЯ

Процеси ГТБ протiкають в багатофазних i багатокомпонентних си­сте­мах. Ха­pак­теp пpотiкання цих процесiв визначається багатьма пара­мет­ра­ми, що тiс­но вза­є­мо­з'вязанi мiж собою. Процес будь-якої складностi може бути зображений так, як на­ве­де­но на рис. 1.

Рис. 1. Схема процесу у вигляді «чорної скрині»

На схемі виділенi основнi групи параметрiв:

• вхiднi X_i, що не залежать вiд режиму процесу, тому можливiсть впливу на них вiдсутня;

• керуючi Q_i, що здiйснюють прямий вплив на хiд процесу;

• збурюючі Z_i, якi випадковим чином змiнюються пpотягом часу і яки­ми не­мож­ливо керувати або вплинути на них;

• вихiднi Y_i, величини яких залежать вiд режиму процесу, тобто пiд­сум­ко­вого впливу вхiдних, кеpуючих i збурюючих параметрiв.

Сутність аналiзу чутливостi полягає у визначеннi коефiцiєнтiв впливу (чут­ли­вос­тi), якi дозволяють проектувальнику або досліднику вiдокpемити параметри, що суттєво впли­вають на процес, вiд тих, що незначно впливають, визначити змiни внутрiшнiх па­ра­мет­рiв про­цесу Х_i, яким вiддається пеpевага, для покpащення його вихiдних пара­метрiв Y_i, оцiнити допустимi вiдхилення внутрiшнiх X_i i зовнiшнiх Q_i пара­мет­рiв для збе­pеження заданої точностi допустимого вiдхилення вихiдних па­ра­метрiв Y_i.

Результати аналiзу чутливостi викоpистовуються для рiшення таких задач проек­ту­вання, як розpахунок допускiв i оцiнка точностi вихiдних параметрiв, пара­мет­ричної оптимiзацiї. В системах аналiз чутливостi дозволяє, встановити їх найслабкiше мiсце, яке вимагає особливої уваги з точки зору пiдтримання заданих режимiв роботи, вказує можливi наслiдки i змiни режиму роботи елементiв або характеристик; визначає шлях боротьби з ймовiрними вiдхиленнями в ре­жи­мах функцiонування гідротехнічних споруд.

Кiлькiсно степiнь впливу внутрiшнiх (або зовнiшнiх) параметрiв на вихiднi оцi­ню­ється за допомогою часткових похiдних:

або (1)

де X_і^ном и Y_i^ном - номiнальнi значення параметрiв;

A_i^j и B_i^j - вiдповiдно абсолютний та вiдносний коефiцiєнти чутливостi.

Значення А_ij i B_ij для всiх вихiдних i внутрiшнiх параметрiв, що змiнюються, складають матрiци чутливостi А i В, тому в математичному вiдношеннi, аналiз чут­ли­вос­тi системи полягає у визначеннi матрiц її абсолютної А або вiдносної В чут­ли­вос­тi, еле­ментамi яких вiдповiдно будуть абсолютнi А_ij або вiдноснi В_ij коефiцiєнти впли­ву (чутливостi).

Для системи (див. рис.1) справедливо рівняння: Y = f (X, Q, Z) , яке визначає через оператор дiї системи f вихiднi показники Y в залежностi вiд зна­чень внутрiшнiх (кеpуючих) Q i зовнiшних (впливу) X параметрiв.

Для складних операторiв дiї звичайне дiференцiювання неможливе, тому ви­ко­­pис­товують чисельнi методи, наприклад метод прирощень.

Проведемо аналiз чутливостi на прикладi розрахункової схеми вільної фільтрації із облицьованого каналу. Вхiдними параметрами для нього будуть К_е, t_e, m i b, кеpуючими - h, а ви­хід­ним – Q_ф.

Рис. 2. Розрахункова схема вільної фільтрації із облицьованого каналу:

К_e – коефіцієнт фільтрації облицювання екрану, м/доб; t_e – товщина екрану, м;

b – ширина по дну, м; h – висота рівня води в каналі, м; m – закладання;

Р ис. 1 для розрахункової схеми вільної фільтрації із облицьованого каналу можна представити у такому виглядi.

Рис. 3 Схема процесу вільної фільтрації із облицьованого каналу

Для каналу вхiдними параметрами є К_е, t_e, m i b, кеpуючими - h, а ви­хід­ним – Q_ф.

Викоpистовуючи формулу для визначення фільтраційних втрат:

(2)

де К_e – коефіцієнт фільтрації облицювання екрану, м/доб;

t_e – товщина екрану, м;

b – ширина по дну, м;

h – висота рівня води в каналі, м;

m – закладання;

Q_ф – фільтраційна витрата з облицьованого каналу.

З формули бачимо, що вихiдний параметр - Q_ф є функцiєю внутрiшнiх i керуючих параметрiв К_е, t_e, m i b.

Задача аналiзу чутливостi для системи "облицьований канал" полягає у визначеннi ступені впливу параметрiв К_е, t_e, m i b на вихiдний параметр Q_ф.

Розглянемо метод прирощень. Він базується на чисельному діферен­ці­ю­ван­ні функції. Чисельне діферен­ці­ю­ван­ня аналітично або таблично заданої функції y(x) по­лягає в заміні y(x) інтерполяційним поліномом P(x), похідні dⁿP(x)/dxⁿ  dⁿy(x)/dxⁿ якого можна знайти аналітично за допомогою відповідних фор­мул.

Чисельне диференціювання при рівномірно розташованих вузлах з інтер­по­ляцією реалізується такими формулами:

Формули чисельного діферен­ці­ю­ван­ня для вузлів y(x) суттєво спрощуються порявняно з наведеними, бо у вузлах P приймає фіксовані значення. Найпро­сті­ши­ми є формули для центрального вузла (Р=0).

Часткові похідні ряду змінних f(x₁, x₂, … x_n) обчислюються за приведеними фор­мулами, якщо давати приріст одній із змінних і залишати незмінними (рів­ни­ми заданим значенням) інші змінні.

Формула чисельного диференціювання (часткова похідна в центральних вузлах) при кількості вузлів 7: