Задача № 6

Исследовать функцию и построить схематично её график.

Решение.

1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента , кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в ноль:

; .

.

2. Определим точки пересечения графика функции с осями координат:

• с осью график функции не пересекается, так как ;

• с осью при : ; ;

;

.

Точка – точка пересечения графика функции с осью .

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной так как

и , .

4. Определим точки возможного экстремума, то есть точки из , в которых производная либо не существует.

.

существует при всех , то есть при .

Точка , в которой не существует, не является точкой возможного экстремума, поскольку не входит в область определения функции .

при , то есть при ; .

Значит – единственная точка возможного экстремума, которая разбивает на три интервала: , и .

Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:

	+	–	0	+

Функция убывает при и возрастает при .

При переходе через точку меняет знак, значит функция имеет экстремум в точке .

При переходе через точку меняет знак с «–» на «+», значит является точкой минимума функции.

, .

Точка – точка минимума функции .

5. Определим точки возможного перегиба, то есть точки из , в которых вторая производная либо не существует.

.

существует при всех , то есть при .

Точка , в которой не существует, не является точкой возможного перегиба, поскольку не входит в область определения функции .

при , то есть при ;

;

.

Значит – единственная точка возможного перегиба, которая разбивает на три интервала: , и .

Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:

х
	+	+	0	–
у

При график функции вогнутый, а при – выпуклый.

При переходе через точку меняет знак, значит график функции имеет перегиб в точке .

, .

Точка – точка перегиба графика функции .

6. Функция непрерывна на своей области определения, то есть при .

В точке функция не определена, а значит имеет разрыв.

Предел слева ,

предел справа ,

значит – точка разрыва 2-го рода.

7. Исследуем функцию на наличие у её графика асимптот.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , так как – точка разрыва 2-го рода.

Проверим наличие у графика функции невертикальных (наклонных, горизонтальных)

асимптот вида , где , .

;

,

следовательно, прямая , то есть прямая , совпадающая с осью , является горизонтальной асимптотой графика функции .

8. Строим график функции , нанеся предварительно на плоскость найденные точки , и , а также асимптоты – прямую , совпадающую с осью , и прямую , совпадающую с осью .

Кроме того, возьмём для уточнения дополнительную точку:

, тогда . Точка .

											Y
											10
											8
											6
											5
											4
											3
											2
											1
	-5		-4		-3		-2		-1		О		1		2		3		4		5		Х
											-1
											-2

КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 2 ВАРИАНТ 10 – можно приобрести за отдельную плату.

Цена 500 рублей.

Оплата принимается через webmoney и яндекс.деньги

(т.е. электронными деньгами или через терминалы связи)

Для покупки обращайтесь – vzfeiextra@yandex.ru

КР №2, Вар 10 (Демо версия)

Задача № 1

Найти неопределённый интеграл: .

Решение.

Сделаем замену переменной: .

Тогда , откуда ……

Задача № 2

Вычислить определённый интеграл .

Решение.

Сделаем замену переменной: . .

Тогда , …

Задача № 3

Вычислить определённый интеграл .

Решение.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям, взяв….

Задача № 4

Решить дифференциальное уравнение: .

Решение.

Заданное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка…..

Задача № 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение.

Найдём точки пересечения параболы и прямой , для чего

решим систему их уравнений: …

Задача № 6

Экспериментальные данные о значениях переменных х и у приведены в таблице:

	1	1,5	2	2,5	3
	2,2	3,9	5,8	8,8	12,3

В результате их выравнивания получена функция . Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертёж.

Решение.

В соответствии с методом наименьших квадратов искомая линейная зависимость имеет уравнение , где…