Контрольная работа по математическом анализу для ВЗФЭИ по методическим указаниям 2009 года. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.
© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010
Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.
Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!
Вариант 2
Задача № 1
По формулам Крамера решить систему линейных уравнений
Решение.
Найдём определитель системы:
.
, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: , , .
;
;
.
; ; .
Таким образом, – решение заданной системы.
Ответ: , , .
Задача № 2
Найти предел .
Решение.
Имеем неопределённость вида .
Для раскрытия этой неопределённости умножим и разделим выражение в скобках на сопряжённое выражение :
Получили неопределённость вида .
Для раскрытия этой неопределённости вынесем за скобки в числителе и в знаменателе дроби наивысшую степень аргумента, то есть , а затем сократим дробь:
,
так как при и .
Ответ: 0,5.
Задача № 3
Найти производную функции .
Решение.
Воспользуемся свойствами производной:
, , ,
и , где – константа, а также таблицей
производных: , , , , , где С – константа.
.
Ответ: .
Задача № 4
Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18?
Решение.
Обозначим через и катеты прямоугольного треугольника.
По условию сумма квадратов треугольника равна 18, то есть . Выражая из последнего равенства , получаем: ; .
Очевидно, , следовательно, .
Площадь данного прямоугольного треугольника равна произведению длин катетов этого треугольника: .
Область определения функции : ;
; ;
; .
Исследуем на экстремум функцию площади прямоугольного треугольника.
Определим точки возможного экстремума, то есть точки из , в которых производная либо не существует.
.
существует при всех , то есть при .
при , то есть при ;
;
;
.
. Значит – единственная точка возможного экстремума, которая разбивает на два интервала: и .
Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:
-
3
+
0
–
Функция возрастает при и убывает при .
При переходе через точку меняет знак, значит функция имеет экстремум в точке .
При переходе через точку меняет знак с «+» на «–», значит является точкой максимума функции.
, (кв. ед.).
Таким образом, наибольшую площадь (кв. ед.) имеет прямоугольный треугольник с катетами и , сумма квадратов катетов которого равна 18.
Ответ: прямоугольный треугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18, будет иметь наибольшую площадь 9 (кв. ед.), если его катеты равны соответственно 3 и 3.
Задача № 5
Составить уравнения касательных к графику функции , проведённых в точках её пересечения с прямой . Сделать чертёж.
Решение.
Найдём точки пересечения параболы и прямой , для чего
решим систему их уравнений:
;
;
;
, .
Итак, парабола и прямая пересекаются в двух точках: и .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
-6 |
|
-4 |
|
-2 |
|
О |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
8 |
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид .
Найдём : .
; .
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
;
;
;
.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
;
;
;
.
Таким образом, касательные, проведённые к графику функции , в точках её пересечения с прямой , имеют уравнения и .
Ответ: и .