Контрольная работа по математическом анализу для ВЗФЭИ по методическим указаниям 2008 года. Выполнено авторским коллективом ООО «Взфэи-архив.рф» © 2010. Avzfei.ru. Авторские права на данную работу зарегистрированы  Российским авторским обществом КОПИРУС совместно с Федеральным государственным учреждением Российская государственная библиотека - РГБ.

© ООО «ВЗФЭИ-АРХИВ.РФ», 2010

Электронная версия данного текстовой работы предназначена исключительно для ознакомления. Незаконное распространение, публикация (в том числе и на интернет-ресурсах), передача третьим лицам текста данной работы, либо фрагментов текста данной работы без прямой цитаты и согласования с правообладателем преследуется по закону, а лица виновные в данных правонарушениях несут ответственность, предусмотренную главой 4 Гражданского Кодекса РФ.

Если Вы обнаружили данную работу на каком-либо сайте, кроме avzfei.ru, взфэи.su, взфэи-архив.рф – немедленно сообщите об этом на адрес электронной почты: vzfeiextra@ya.ru – Вознаграждение сообщившему гарантируется!

Вариант 10

Задача № 1

Найти матрицу ●· , где , .

Решение.

Для матрицы транспонированной является матрица

.

Число столбцов матрицы (равно 4) равно числу строк матрицы , то есть матрица согласована с матрицей , следовательно определено произведение .

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется такая матрица размера , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

, ; .

В нашем случае

.

Найдём матрицу , где – единичная матрица:

.

Ответ: .

Задача № 2

Найти предел .

Решение.

Имеем неопределённость вида .

Функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причём . Воспользуемся правилом Лопиталя:

Снова воспользуемся правилом Лопиталя:

.

Ответ: .

Задача № 3

Найти производную функции .

Решение.

Воспользуемся свойствами производной:

, , ,

и , где – константа, а также таблицей

производных: , , , , где С – константа.

.

Ответ: .

Задача № 4

Требуется изготовить открытый цилиндрический бак ёмкостью 1000 см³. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала?

Решение.

Обозначим:

– радиус основания цилиндра (бака),

– высоту цилиндра (бака).

Объём бака .

По условию (см³), откуда ;

.

Боковая поверхность бака (цилиндра)

(см²).

Площадь основания цилиндра (дна бака) (см²).

Следовательно, площадь поверхности бака .

Область определения функции : .

Исследуем на экстремум функцию площади поверхности бака.

Определим точки возможного экстремума, то есть точки из , в которых производная либо не существует.

.

существует при всех , то есть при .

при , то есть при ;

;

;

;

.

. Значит – единственная точка возможного экстремума, которая разбивает на два интервала: и .

Определим знак в каждом из этих интервалов по знаку для произвольной точки из соответствующего интервала:

	–	0	+

Функция убывает при и возрастает при .

При переходе через точку меняет знак, значит функция имеет экстремум в точке .

При переходе через точку меняет знак с «–» на «+», значит является точкой минимума функции.

,

(см²).

Таким образом, наименьшую площадь поверхности (наименьшее количество материала) (см²) имеет бак, радиус основания которого (см).

Ответ: чтобы на изготовление открытого цилиндрического бака ёмкостью 1000 см³ ушло наименьшее количество материала, радиус основания этого бака должен быть (см).

Задача № 5

Составить уравнения касательных к графику функции y=(2x+5)/(x+2) , перпендикулярных прямой, проходящей через точки (0;3) и (1;7) и . Сделать чертёж.

Решение.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости и

имеет вид: .

Воспользовавшись этой формулой, найдём уравнение прямой, проходящей через точки и :

; ; ;

– уравнение прямой, проходящей через точки и .

Угловой коэффициент прямой найдём, записав полученное уравнение в виде уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом:

, откуда .

Воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями и .

Пусть – угловой коэффициент искомых касательных к кривой .

Поскольку искомые касательные к гиперболе перпендикулярны прямой , получаем: .

Итак, угловой коэффициент искомых касательных .

С другой стороны, угловой коэффициент искомых касательных к гиперболе в точке равен .

Найдём : ;

.

Таким образом, и , откуда ;

;

;

или ;

.

Соответственно при получаем: ; ,

а при получаем: ; .

Значит искомые касательные – это касательные графику функции в точках и .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид .

Уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид:

;

;

.

Уравнение касательной к гиперболе в точке имеет вид:

;

;

.

Таким образом, касательные, проведённые к графику функции , перпендикулярные прямой, проходящей через точки и , имеют уравнения и .

										Y
										12
										10
										8
										6
										4
										2
		-8		-6		-4		-2		О		2		4		6		8			X
										-2
										-4
										-6
										-8
										-10
										-12

Ответ: и .