Типовой расчет Кузнецов. Аналитическая геометрия 3

Задача 3. Найти косинус угла φ между векторами и .

3.1.

cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={0-1, -1+2, 2-3}={-1, 1, -1}

AC={3-1, -4+2, 5-3}={2, -2, 2}

-1/2=1/-2=-1/2=-1/2

Эти векторы коллинеарны, значит между ними нет угла.

3.2. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-12, -3+3, -3-6}= {-12, 0, -9}

AC={-9, -3+3, -6-6}= {-9, 0, -12}

│AB│=√(144+81)=15

│AC│=√(81+144)=15

AB*AC=12*9+9*12=216

Cosφ=216/15*15=0,96

φ=arccos0.96

3.3. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={5-3, 5-3, -2+1}={2, 2, -1}

AC={4-3, 1-3, 1+1}={1, -2, 2}

│AB│=√(4+4+1)=3

│AC│=√(1+4+4)=3

AB*AC=2-4-2= -4

Cosφ= -4/9

φ= arcos(-4/9)

3.4. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={3+1, 4-2, -6+3}={4, 2, -3}

AC={1+1, 1-2, -1+3}={2, -1, 2}

│AB│=√(16+4+9)=√29

│AC│=√(4+1+4)=3

AB*AC=4*2-2-3*2=0

Cosφ=0/3√29=0

φ=π/2

3.5. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-1+4, -2+2, 4}={3, 0, 4}

AC={3+4, -2+2, 1}={7, 0, 1}

│AB│=√(9+16)=5

│AC│=√(49+1)=5√2

AB*AC=3*7+4*1=25

Cosφ=25/25√2=1/√2

φ=π/4

3.6. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={5-5, 2-3, 1}={0, -1, 1}

AC={6-5, 4-3, -1+1}={1, 1, 0}

│AB│=√(1+1)=√2

│AC│=√(1+1)=√2

AB*AC=-1

Cosφ=-1/2

φ=2π/3

3.7. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={3, -1+7, -2+5}={3, 6, 3}

AC={2+3, 3+7, 5}={5, 10, 5}

3/5=6/10=3/5=3/5

Эти векторы коллинеарны, значит между ними нет угла.

3.8. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-2, -2+4, 4-6}={-2, 2, -2}

AC={6-2, -8+4, 10-6}={4, -4, 4}

-2/4=2/-4=-2/4=-1/2

Эти векторы коллинеарны, значит между ними нет угла.

3.9. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={3, 1-1, 2+2}={3, 0, 4}

AC={4, 1-1, 1+2}={4, 0, 3}

│AB│=√(9+16)=5

│AC│=√(9+16)=5

AB*AC=3*4+4*3=24

Cosφ=24/25=0,96

φ= arccos0.96

3.10. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={1-3, 5-3, -2+1}={-2, 2, -1}

AC={4-3, 1-3, 1+1}={1, -2, 2}

│AB│=√(4+4+1)=3

│AC│=√(1+4+4)=3

AB*AC=-2-4-2=-8

Cosφ= -8/9

φ= arccos(-8/9)

3.11. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={6-2, -1-1, -4+1}={4, -2, -3}

AC={4-2, 2-1, 1+1}={2, 1, 2}

│AB│=√(16+4+9)=√29

│AC│=√(4+1+4)=3

AB*AC=4*2-2-3*2= 0

Cosφ= 0/3√29=0

φ=π/2

3.12. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-4+1, -2+2, 5-1}={-3, 0, 4,}

AC={-8+1, -2+2, 2-1}={-7, 0, 1}

│AB│=√(9+16)=5

│AC│=√(49+1)=5√2

AB*AC=7*3+4*1=25

Cosφ=25/25√2=1/√2

φ=π/4

3.13. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={6-6, 3-2, -2+3}={0, 1, 1}

AC={7-6, 3-2, -3+3}={1, 1, 0}

│AB│=√(1+1)=√2

│AC│=√(1+1)=√2

AB*AC=1

Cosφ=1/2

φ=π/3

3.14. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB= {-3, -6, 1-4}={-3, -6, -3}

AC={-5, -10, -1-4}={-5, -10, -5}

-3/-5=-6/-10=-3/-5

Эти векторы коллинеарны и угла между ними нет.

3.15. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={4-2, -6+8, 1}={2, 2, 1}

AC={-2-2, -5+8, -1+1}={-4, 3, 0}

│AB│=√(4+4+1)=3

│AC│=√(16+9)=5

AB*AC=-4*2+3*2=-2

Cosφ=-2/15

φ=arcos(-2/15)

3.16. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-3, -3+6, 6-9}={-3, 3, -3}

AC={9-3, -12+6, 15-9}={6, -6, 6}

-3/6=3/-6=-3/6=-3/6

Эти векторы коллинеарны и угла между ними нет.

3.17. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={8, 2-2, 2+4}={8, 0, 6}

AC={6, 2-2, 4+4}={6, 0, 8}

│AB│=√(64+36)=10

│AC│=√(36+64)=10

AB*AC=8*6+6*8=96

Cosφ=0,96

φ=arccos(0,96)

3.18. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={5-3, 1-3, -2+1}={2, -2, -1}

AC={4-3, 1-3, 1+1}={1, -2, 2}

│AB│=√(4+4+1)=3

│AC│=√(1+4+4)=3

AB*AC=2+2*2-2=4

Cosφ=4/9

φ=arccos4/9

3.19. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={4, 1-3, 3}={4, -2, 3}

AC={-2+4, 4-3, -2}={2, 1, -2}

│AB│=√(16+4+9)=√29

│AC│=√(4+1+4)=3

AB*AC=4*2-2-2*3=0

Cosφ=0/3√29=0

φ=π/2

3.20. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-2-1, -1+1, 4}={-3, 0, 4}

AC={8-1, -1+1, -1}={7, 0, -1}

│AB│=√(9+16)=5

│AC│=√(49+1)=5√2

AB*AC=-3*7-4=-25

Cosφ=-25/25√2=-1/√2

φ=2π/3

3.21. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={7-7, 1, 3-2}={0, 1, 1}

AC={8-7, -1, 2-2}={1, -1, 0}

│AB│=√(1+1)=√2

│AC│=√(1+1)=√2

AB*AC=-1

Cosφ=-1/2

φ=2π/3

3.22. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-1-2, -3-3, -1-2}={-3, -6, -3}

AC={-3-2, -7-3, -3-2}={-5, -4, -5}

│AB│=√(9+36+9)=3√6

│AC│=√(25+16+25)=√66

AB*AC=3*5+6*4+3*5=54

Cosφ=54/3√396=54/18√11=3/√11

φ=arccos3/√11

3.23. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-2, -2, 6-7}={-2, -2, -1}

AC={-2-2, 5-2, 7-7}={-4, 3, 0}

│AB│=√(4+4+1)=9

│AC│=√(16+9)=5

AB*AC=2*4-2*3=2

Cosφ=2/45

φ=arccos2/45

3.24. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={1, 1-2, -2+3}={1, -1, 1}

AC={-3+1, 4-4, -5+3}={-2, 0, -2}

│AB│=√(1+1+1)=√3

│AC│=√(4+4)=2√2

AB*AC=-2-2=-4

Cosφ=-4/2√6=-2/√6

φ=arcos(-2/√6)

3.25. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={9, 3-3, 6+6}={9, 0, 12}

AC={12, 3-3, 3+6}={12, 0, 9}

│AB│=√(81+144)=15

│AC│=√(144+81)=15

AB*AC=9*12+12*9=216

Cosφ=216/22=0,96

φ=arccos0,96

3.26. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={5-3, 1-3, -2+1}={2, -2, -1}

AC={4-3, 1-3, -3+1}={1, -2, -2}

│AB│=√(4+4+1)=3

│AC│=√(1+4+4)=3

AB*AC=2+2*2+2=8

Cosφ=8/9

φ=arccos8/9

3.27. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={2+2, 3-1, -2-1}={4, 2, -3}

AC={2, -1, 3-1}={2, -1, 2}

│AB│=√(16+4+9)=√29

│AC│=√(4+1+4)=3

AB*AC=4*2-2-3*2=0

Cosφ=0/3√29=0

φ=π/2

3.28. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-2-1, 4-4, -5+1}={-3, 0, -4}

AC={8-1, 4-4, 1}={7, 0, 1}

│AB│=√(9+16)=5

│AC│=√(49+1)=5√2

AB*AC=-3*7-4=-25

Cosφ=-25/25√2=-1/√2

φ=3π/4

3.29. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={0, 2-1, 1}={0, 1, 1}

AC={1, 2-1, 0}={1, 1, 0}

│AB│=√(1+1)=√2

│AC│=√(1+1)=√2

AB*AC=1

Cosφ=1/2

φ=π/3

3.30. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={-1+4, 6, 7-4}={3, 6, 3}

AC={1+4, 10, 9-4}={5, 10, 5}

3/5=6/10=3/5=3/5

Эти векторы коллинеарны и угла между ними нет.

3.31. cosφ=(AB*AC)/(│AB│*│AC│)

AB={2, 2-4, -4+6}={2, -2, 2}

AC={-6+2, 8-4, -10+6}={-4, 4, -4}

2/-4=-2/4=2/-4=-1/2

Эти векторы коллинеарны и угла между ними нет.