2-ая физическая лаборатория / Описания / 6 - Эффект Керра

VI. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА: ЭФФЕКТ КЕРРА

Оптическая анизотропия вещества всегда связана с анизотропными свойствами молекул, из которых постро-

еноневоэтовсехвеществослучаях.Почти.Кромевсетого,молекулымногие обладаютмолекулыанизотропнойимеютсобственныйполяризуемостью,дипольный моментхотя она¡! проявляется далеко ¹0, величина которого и его ориентация зависят от химического строения молекулы. Тем не менее, оптически изотропное вещество

может быть построено и из анизотропных молекул, если последние расположены беспорядочно, как это имеет место в газах, жидкостях или аморфных телах. Напротив, если молекулам вещества любым способом придать ориентацию, то вектор поляризации суммарный дипольный момент молекул уже не будет иметь одинаковые значения для разных направлений, вещество приобретает анизотропию диэлектрической проницаемости, а значит, и оптическую анизотропию.

Такую анизотропию, выражающуюся в появлении двойного лучепреломления, можно вызвать, например, подвергнув тело одностороннему сжатию и растяжению (фотоэластический эффект); у некоторых жидкостей внесением их в электрическое поле (эффект Керра); созданием потока жидкостей тех веществ, молекулы которых имеют вытянутую форму.

Эффект Керра или электрооптический эффект это возникновение двулучепреломления у изотропного вещества, помещ¼нного в однородное электрическое поле. В электрическом поле вещество приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением приложенного электрического поля. Свет, распространяющийся перпендикулярно к направлению статического поля, будет иметь различную скорость в зависимости от того, будет ли электрическое поле световой волны параллельно или перпендикулярно к статическому полю (соответственно обыкновенный и необыкновенный лучи с показателями преломленияn0

è ne). Если в образец перпендикулярно электрическому полю войд¼т световой луч, поляризованный под углом 45± к этому полю, то из образца он выйдет поляризованный эллиптически. Эксперимент показывает, что для

данного вещества разность хода между обеими составляющими луча пропорциональна квадрату напряж¼нности E электрического поля:

Здесь l длина пути, пройденная световым лучом в веществе, B постоянная Керра, характеризующая вели-

чину двойного лучепреломления. Постоянная Керра зависит от природы вещества, температуры (уменьшается с ростом температуры) и длины волны (закон Хэвлона):B » (n2¡1)2

n¸ .

Наибольшая величина постоянной Керра у веществ, молекулы которых обладают большим собственным дипольным моментом, однако и недипольные вещества проявляют двулучепреломление в электрическом поле. Для недипольных молекул объяснение эффекта Керра было дано П. Ланжевеном, обобщение теории и на случай дипольных молекул было предложено М. Борном. Идеи теории Ланжевена Борна основаны на том, что молекулы обладают анизотропией оптической поляризуемости, то есть поляризуются под действием поля световой волны в различных направлениях в различной мере, однако в отсутствие электрического поля их хаотическое расположение обусловливает макроскопическую изотропность жидкости или газа. Во внешнем электрическом поле молекулы будут стремиться устанавливаться так, чтобы ось наиболее л¼гкой поляризуемости была параллельна полю. Этому противодействует тепловая броуновская переориентация молекул. Статистическое равновесие будет соответствовать преимущественной ориентации максимальной поляризуемости в направлении поля, насколько это допускает противодействующее этому тепловое движение. Среда поэтому становится анизотропной и обнаруживает двойное лучепреломление. Если молекулы имеют постоянный дипольный момент ориентация происходит и независимо от различия поляризуемости в различных направлениях. В общем случае необходимо принимать в расч¼т оба эффекта.

В настоящее время не подлежит сомнению, что гипотеза ориентации молекул правильно объясняет явление Керра. Во-первых, только благодаря ей становится понятным, почему величина двойного лучепреломления уменьшается с ростом температуры. Во-вторых, только она способна объяснить очень малые времена релаксации двойного лучепреломления (порядка 10¡9 ¥ 10¡10 ñåê.).

Здесь n показатель преломления, N число молекул в 1 см3, ®0 средняя поляризуемость молекулы на ча- стоте света.

Если молекулы, из которых состоит вещество изотропны, то поляризуемость определяется как!¡ коэффициент пропорциональности между индуцированным электрическим моментом¡!

¹ и напряж¼нностью E электромаг-

нитной волны:

В общем случае анизотропной молекулы уравнение 30 должно быть заменено более сложным выражением.

Здесь величины ®ik не зависят от компонент электрического вектора, но зависят от ориентации молекулы относительно выбранной системы координат x, y, z. В матричном обозначении уравнение 32 может быть записано в сокращ¼нной форме

прич¼м в такой записи подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу. Из уравнений 32 следует, что в общем случае направление индуцированного диполя не является параллельным направлению вектора падающего!¡ электрического поля. Однако, существует такая система координат, в которой соотношения между

!¡

¹ è E принимают простой вид:

Такие направления называются главными осями поляризуемости, а связанные с ними значения ®i, i =1, 2, 3

главными значениями поляризуемости.

Среднее значение поляризуемости®0, входящее в уравнение Лорентц Лоренца 29, можно получить пут¼м усреднения 32 по всем ориентациям молекул в жидкости. Выберем координатную системуx01, x02, x03, ж¼стко связанную

Возвращаясь обратно к неподвижной (лабораторной) системе координат, составляющие момента¡!

¹ (¹1; ¹2; ¹3)

Как и в предыдущих формулах, в последней производится суммирование по повторяющимся индексам. В частности, если световая волна распространяется так, что она поляризована вдоль направленияx3 лабораторной

¡!

системы координат, то составляющие вектора E имеют вид E1 = 0; E2 = 0; E3 = E3ei!t. В этом случае уравнение 37 да¼т три составляющие индуцированного момента¡!

¹ . Составляющая ¹3 равна:

В отсутствии постоянного электрического поля, когда все ориентации молекул равновероятны, усреднение по всем молекулам выражения в скобках даст среднюю величину поляризуемости®0, которая входит в уравнение Лорентц Лоренца и определяет показатель преломления вещества. Поскольку среднее значение косинуса равно нулю,

а квадрата косинуса 1 3 , то средняя поляризуемость по частоте световой волны равна:

появления преимущественной ориентации молекул под действием внешнего поля. При этом величина ® будет

различна для поляризации света параллельно и перпендикулярно вектору электрического поля. Кроме того, вследствие электрострикции число N молекул в 1 см3 также изменится на N.

Изменение показателя преломления n вещества можно приближ¼нно получить, дифференцируя уравнение 29.

ãäå " диэлектрическая постоянная, p давление, T абсолютная температура.

Изменение поляризуемости ® можно получить усредняя, как и прежде, уравнение 37, учитывая, однако рас-

пределение молекул по ориентациям. Согласно закону Больцмана относительная вероятность того, что молекула займ¼т во внешнем поле некоторую преимущественную ориентацию, пропорциональна множителюexp(¡kTU ), ãäå U энергия молекулы в электрическом поле. Среднее значение поляризуемости® определяется тогда при

использовании (10) следующим образом:

Интегрирование производится по всем пространственным¡! ориентациям.

Энергия U молекулы в электрическом поле E , которое вызывает смещение зарядов и тем самым деформацию молекулы, равна:

Величины ¯ik представляют собой постоянные, характеризующие поляризуемость молекулы на низких частотах

(электрическаяпостоянногодипольногополяризуемость)момента. ¡!Первый член учитывает изменение энергии молекулы в поле из-за наличия ¹0, второй вследствие деформации молекулы в постоянном электрическом поле. Такая деформация вызывает появление индуцированного постоянного момента, пропорционального полю,

прич¼м этот момент сам взаимодействует с полем. Поэтому второй член связан квадратично с напряж¼нностью поля E.

 ðåçóльтате довольно длинного, но элементарного вычисления выражения 42, оказывается, что средняя вели- чина ® в электрическом поле равна:

Изменение ® оптической поляризуемости зависит от направления электрического и от поляризации падающе-

го света. В случае, когда рассматривается свет, распространяющийся перпендикулярно к направлению статиче- ского поля, изменение поляризуемости для волны, поляризованной перпендикулярно полю(Δ®)0, и для волны,

Во втором случае составляют 45±. Таким образом, если разность фаз, вносимая

образцом (ячейкой Керра) меньше ±0, поворотом компенсатора можно скомпенсировать двойное лучепреломление в образце и полностью погасить свет, выходящий из анализатора. В приложении показано, что связь между разностью фаз± в образце и

углом ' поворота компенсатора выражается соотношением

± = ±0 sin 2'

ãäå ±0 разность фаз компенсатора, равная для установки 26±. Поскольку большая точность при визуальной компенсации происходит не при полном погасании поля зрения, а при сравнении освещ¼нности двух полей, в установке дополнительно установлен полутеневой компенсатор 8, закрывающий лишь половину поля зрения. Он представляет собой такуþ2¼äвулучепреломляющую пластинку (слюды), вносящую очень малую разность фаз ¼ 180 .

Если зрительную трубу сфокусировать на полутеневой компенсатор, то поле зрения окажется раздел¼нным на две части. Нулевое положение основного компенсатора устанавливается таким образом, чтобы выровнять освещ¼нности двух полей зрения. Точность такой установки значительно выше, чем при работе по методу наибольшего затемнения. В нашей работе точность отсч¼та имеет принципиальное значение, поскольку углы поворота компенсатора, которые предстоит измерить, малы. Угол поворота при включении поля также определяется по выравниванию интенсивностей обоих полей зрения.

Приложение. Матричное описание поляризационных эффектов. Матрицы Джонса

Для быстрого расч¼та поляризационных эффектов, возникающих в многокомпонентных системах, удобны матричные методы. При матричном описании состояние поляризации света изображается вектором; всякой

оптической системе, изменяющей поляризацию¡! света, сопоставляется некоторая матрица¡! . Если входящий в систему свет описывается вектором A, а система описывается матрицей M, то вектор A0, описывающий свет,

¡!

выходящий из системы получается перемножением матрицыM и вектора A:

Компактность расч¼тов с помощью матричных методов заключается в том, что эффект, производимый многокомпонентной системой, определяется простым перемножением матриц, соответствующих отдельным элементам системы:

ãäå M ´ Mn ¢ Mn¡1 ¢ : : : ¢ M2 ¢ M1, à M1; : : : ; Mn матрицы, соответствующие первому, второму и т. д. элементам многокомпонентной системы, считая по ходу луча; M матрица, полученная перемножением и описывающая

ненты которого совпадают с x è y компонентами электрического вектора E в выбранной декартовой системе координат:

Временной множитель ei!t при расч¼тах может быть опущен и поэтомуEx, Ey обычно обозначают комплексные амплитуды:

A1 = Ex0 ei±x ; A2 = Ey0 ei±y

Если же абсолютные значения фазовых постоянных не существенны, то достаточно указать лишь величину

± = ±x ¡ ±y. Тогда компоненты вектора Джонса будут равны:

A1 = Ex0 ei±; A2 = Ey0

Для любого поляризующего элемента матрицу Джонса можно определить двумя способами: относительно неизменных заданных осей и относительно осей самого элемента. Вначале остановимся на первом способе. Для отыскания матрицы, соответствующей данному оптическому элементу, необходимо0 0 задать азимут этого элемента в системе (x è y), выразить x è y компоненты выходящего света (Ex; Ey) через компоненты входящего

(Ex; Ey). Поскольку это выражение получается в результате преобразования координат от системы (x, y) к системе собственных осей элемента (», ´), изменению амплитуд и фаз компонентовE» è E´ и обратного перехода

Эти матрицы играют роль элементарных матриц, поскольку эффект поляризации любой системы можно описать произведением этих матриц.

Рассмотрим прохождение света через систему, состоящую из поляризатора, идеальной фазовой пластинки, быстрая ось F которой составляет угол ' с направлением

пропускания поляризатора, и анализатора, скрещенного с поляризатором (Рис. 30). Пусть система координат (x, y) имеет горизонтальную ось Oy и вертикальную Ox.

Тогда, если на систему падает свет, с компонентами Ex è Ey, компоненты электриче-

Итак, свет, выходящий из системы, поляризован вдоль осиOx, а интенсивность света будет определяться произведением напряж¼нности поля электрической волны на комплексно сопряж¼нное выражение: