4. Задание к работе

Программа, которую необходимо составить для проведения исследований, должна вызывать две подпрограммы вычисления интегралов. Одна из них, реализующая метод Симпсона, приведена в приложении. Вторую, реализующую метод трапеций, нужно составить самостоятельно. Кроме того, необходимо составить подпрограмму-функцию вычисления определенной вариантом задания подынтегральной функции, которую вызывают обе подпрограммы вычисления интегралов.

Рекомендуется следующий алгоритм работы программы:

1. Ввод с терминала начального, конечного значений и шага изменения n .

2. Подсчет с помощью формулы для первообразной и вывод на печать точного значения интеграла.

3. Изменение n в цикле с параметрами, определёнными в разделе 1. Вычисление и вывод на печать при каждом n для обоих способов вычисления интегралов следующих значений:

- приближенного значения интеграла;

- ошибки вычисления интеграла, определенной формулой (9);

- значения коэффициента c_A , вычисленного по известным Е и n по соответствующей формуле (12).

С помощью составленной программы необходимо выполнить следующие исследования:

4.1. Провести сравнительный анализ для двух методов вычисления интегралов зависимости ошибки интегрирования от количества n отрезков разбиения интервала интегрирования.

Учитывая различный при разных значениях n вклад в ошибку интегрирования ошибок алгоритма (12) и вычислений (14), следует с помощью составленной программы подсчитать и вывести на печать две таблицы. В одной n должно изменяться от 2 с небольшим шагом до значения, при котором ошибка интегрирования не превышает величины 10-⁵-10-⁶. Обычно такая ошибка достигается при значе­ниях n , близких к 100. Во второй n должно изменяться с большим шагом до значения порядка 2-3 тысяч. Следует отметить, что из-за особенности метода Симпсона n должно быть четным. При каждом шаге счета програм­ма должна производить не более 20-30 шагов. В противном случае распечатки таблиц могут оказаться слишком длинными и ЭВМ может потратить на выполнение программы много времени.

4.2. Проверить справедливость гипотезы Рунге о независимости коэффициентов c_A в (10) от n .

С этой целью необходимо по таблицам, полученным при выполнении исследований п. 2.1, построить графики зависимости c_A от n для двух методов интегрирования и проанализировать их вид в разных диапазонах изменения n.

4.3. Проверить, действительно ли правило Рунге, описанное в п. 1 настоящих указаний, позволяет оценить величину ошибки вычисления интеграла каждым из исследуемых способов.

Для этого нужно по полученным при выполнении п. 2.1 приближенным значениям интегралов для двух близких значений n подсчитать оценку ошибки интегрирования при одном из этих значений n. Далее эту оценку следует сравнить с точным значением ошибки, которое подсчитывает программа по формуле (9). Такое сравнение необходимо произвести несколько раз для малых, средних и больших значений n.

4.4. Дополнительное задание по НИРС. Составить подпрограмму вычисление интеграла с автоматическим выбором шага по правилу Рунге. Предлагается следующий алгоритм работы подпрограммы. Подпрограмме задается начальное значение n и допустимая величина погрешности вычисления интеграла e. Она вычисляет значения интеграла при n и 2n, оценивает c_A по правилу Рунге и по значениям c_A , и e определяет требуемое для достижении заданной точности число отрезков разбиения интервала интегрирования. Если это число оказывается меньше, чем 2n , то подпрограмма оставляет значение 2n и соответствующее значение интеграла.В противном случае значение интеграла подсчиты­вается при выбранном новом значении n 2n . Произвести вычисления интеграла с помощью этой подпрограммы при нескольких значениях e . Выяснить, какие величины n выбирает при этом подпрограмма.