Кванты - программа лекций

Программа

Курса лекций “Основы квантовой механики”

1. Экспериментальные основы квантовой механики.

Этапы развития квантовой теории. Основы эксперименты, окружающие свойства микрообъектов. Дуализм волна-частица.

Область применения классического описания физических явлений. Измерение координаты и импульса квантовой частицы, соотношение неопределенности Гейзенберга, его физическая интерпретация.

2 . Основные принципы квантовой механики.

Наблюдаемые и соответствующие им операторы в квантовой механике. Средние значения наблюдаемых. Наборы наблюдаемых величин. Физические величины и операторы . Операторы координаты, импульса, кинетической и потенциальной энергии. Понятие состояния квантовой системы, волновая функция и принцип суперпозиции.

Классические и квантовые скобки Пуассона. Квазиклассическое приближение в квантовой механике.

Вывод соотношения неопределенности по Гейзенбергу. Состояния, в которых соотношение неопределенности достигает нижней границы Классический предел, первый и второй порядки квазиклассического приближения и условие применимости таких разложений.

2. Теория представлений в квантовой механике

Теория представлений в квантовой механике.

Бра и кет состояния Дирака и их соответствие волновой функции Унитарные преобразования, представления Шредингера,

Гейзенберга и Дирака. Координатное и импульсное представление. Операторы и матрицы. Дискретный и непрерывный спектр состояний в квантовой механике.

Нормировка состояний непрерывного спектра, собственные дифференциалы. Унитарные инварианты. Канонические преобразование как оператор.

Математическое ожидание в квантовой механике, изменение математических ожиданий во времени. Смешанные состояния, матрица плотности, уравнение Лиувилля.

4 Модельные задачи в квантовой механике

4.1 Движение в однородном поле.

Движение в однородном поле. Функция Эйри и ее асимптотика.

Граничные условия для точек поворота в квазиклассическом приближении. Условия квантования Бора-Зоммерфельда.

4.2 Квантовый осциллятор

Квантовый осциллятор. Каноническое преобразование на примере квантового осциллятора. Операторы рождения и уничтожения квантов. Представление Гейзенберга для операторов рождения и уничтожения. Квантовый осциллятор в импульсном представлении. Когерентные состояния. Эволюция когерентных состояний. Волновая функция когерентных состояний.

5. Теория квантового момента количества движения.

Оператор момента количества движения в квантовой механике, коммутационные

соотношения. Спектр собственных значений проекции момента на ось z и оператора квадрата момента количества движения. Матрицы Паули. Сферическая симметрия и сохранение момента количества движения. Сложение моментов. Теорема Клебша-Гордана. Сферические функции и коэффициенты Клебша-Гордана. Тензорные операторы и теорема Вигнера-Эккарта.

6. Движение в центральном поле.

Разделение переменных в центральном поле. Сферические волны, разложение плоской волны. Сферический потенциальный барьер и потенциальная яма. Кулоновское поле. Атомные и кулоновские единицы.

Волновые функции и спектр водородоподобных ионов. Вырожденная гипергеометрическая функция, полиномы Лагерра. Состояния непрерывного спектра в кулоновском поле, асимптотика и нормировка волновых функций непрерывного спектра. Волновые функции в параболических координатах.

7. Приближенные методы решения стационарных уравнений Шредингера.

7.1 Стационарная теория возмущений.

Стационарная теория возмущений невырожденных состояний. Низшие порядки теории возмущений.

Формализм Фешбаха-Левдина в теории возмущений Теория возмущений вырожденных и почти вырожденных состояний. Электрическое и магнитное поле как возмущение.

7.2 Нестационарная теория возмущений.

Нестационарная теория возмущений. Представление взаимодействия. Разложение оператора эволюции в представлении взаимодействия в ряд по степеням возмущения. Мгновенное включение постоянного возмущения. Вероятность перехода в единицу времени. Решение модельной нестационарной задачи для одного дискретного уровня в сплошном спектре.

Вероятность выживания и распада в точном решении и их переход в результат, полученный с помощью теории возмущений. Распад квазистационарных состояний. Теорема Фока-Крылова. Периодические возмущения. Квазиклассическая теория взаимодействия с излучением света, спонтанные переходы. Рассеяние света электроном в связанном состояния.

7.3 Вариационный принцип.

Функционал энергии и формулировка вариационного принципа для стационарных состояний. Пример вариационного расчета энергии в центральном поле.

8. Квантовая механика многих тел.

Уравнение Шредингера для системы многих тел. Импульс и момент количества движения системы. Приближение невзаимодействующих частиц (одночастичное приближение ). Принцип Паули и детерминант Слэтера. Матрицы плотности одночастичного приближения, реккурентные соотношщения для них и общая формула редуцированных матриц плотности. Вариационный принцип и приближение Хартри-Фока для электронов. Спин многоэлектронной системы. Схема Юнга. Приближение центрального поля. Разложение теории возмущений по степеням 1/Z

Сравнение такого разложения с простейшим вариационным приближением для двухэлектронных ионов (экранирование заряда ядра Z – 5/16)

Адиабатическое приближение для молекул. Молекула водорода. Элементарная теория химической связи. Классификация электронных состояний молекул. Колебания ядер в молекулах.

9. Квантовая теория рассеяния

Постановка задачи теории рассеяния. Волновые функции состояний рассеяния. Потенциальное рассеяние, амплитуда рассеяния и сечение рассеяния. Метод парциальных волн в теории рассеяния. Фаза рассеяния в квазиклассическом приближении. Уравнение Липпмана-Швингера для волновых функций состояний рассеяния и борновское разложение. Амплитуда рассеяния в первом борновском приближении. Рассеяние медленных частиц. Резонансное рассеяние. Матрица рассеяния и соотношение унитарности. Оптическая теорема. Рассеяние кулоновским потенциалом и формула Резерфорда.

10. Релятивистская квантовая теория.

Релятивистское уравнение Дирака. Свободное движение электронов Дирака. Состояние с отрицательной энергией и их интерпретация Дирака в форме Паули.

Релятивистская инвариантность уравнения Дирака. Уравнение Дирака во внешенм электромагнитном поле. Градиентная инвариантность. Инверсия пространственных координат, обращение времени, зарядовое сопряжение. Уравнение Паули. Спинорбитальное взаимодействие, тонкое расщепление кровней энергии. Шаровые функции со спином. Решение уравнения Дирака для атома водорода.