1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
2. Диференціальні рівняння, у яких можна відокремити змінні.
3. Знайти всі розв’язки диференціальних рівнянь:
1)
2)
3)
4)
5)
.
6)
4. Знайти розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє початкову умову:
7)
8)
.
9)
10)
5. Завдання для самостійної роботи:
а) Знайти всі розв’язки диференціальних рівнянь:
1)
2)
3)
4)
б) Знайти розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє початкову умову:
5)
6)
Заняття 3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
1. Відшукання загального розв’язку лінійного однорідного диференціального рівняння. Формула загального розв’язку.
2. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Метод Лагранжа (варіації довільної сталої) і Бернуллі.
3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4. Розв’язати задачу Коші:
7)
8)
9)
10)
5. Завдання для самостійної роботи:
а) Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:
1)
2)
3)
4)
б) Розв’язати задачу Коші:
5)
6)
Заняття 4. Рівняння Бернуллі.
1. Розв’язати рівняння:
1)
2)
3)
4)
5)
.
6)
2. Розв’язати задачу Коші:
7)
8)
3. Завдання для самостійної роботи:
а) Розв’язати рівняння:
1)
2)
3)
б) Розв’язати задачу Коші:
4)
5)
Заняття 5. Однорідні диференціальні рівняння
1. Означення однорідної функції.
2. Однорідні диференціальні рівняння та їх інтегрування.
3. Розв’язати диференціальні рівняння:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
4. Розв’язати задачу Коші:
7)
8)
5. Завдання для самостійної роботи:
а) Розв’язати рівняння:
1)
2)
3)
б) Розв’язати задачу Коші:
4)
5)
Заняття 6. Диференціальні рівняння, що зводяться до однорідних
1.
Інтегрування рівнянь
у випадках, коли:
а)
б)
2. Розв’язати рівняння:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3. Завдання для самостійної роботи:
1)
2)
3)
4)
Заняття 7. Рівняння в повних диференціалах
1. Означення диференціального рівняння в повних диференціалах.
2. Інтегрування рівнянь в повних диференціалах.
3. Інтегрувальні множники:
та їх застосування до інтегрування диференціальних рівнянь.
4. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
1)
2)
3)
4)
5. Побудувати інтегрувальний множник і розв’язати диференціальне рівняння:
5)
6)
7)
8)
6. Завдання для самостійної роботи:
а) Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:
1)
2)
3)
.
б) Побудувати інтегрувальний множник і розв’язати диференціальне рівняння:
4)
5)
Заняття 8. Рівняння Лагранжа і рівняння Клеро
Інтегрування рівнянь Лагранжа
.Інтегрування рівнянь Клеро
.Поняття про особливі розв’язки.
Розв’язати рівняння:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
5. Завдання для самостійної роботи
Розв’язати рівняння:
1)
.
2)
3)
4)
5)
6)
.
Заняття 9. Рівняння Ріккаті
1.
Інтегрування
рівняння Ріккаті
у випадках, коли:
а)
– сталі коефіцієнти,
б)
– сталі
коефіцієнти,
в)
–
сталі
коефіцієнти,
г)
– розв’язок рівняння.
2. Розв’язати рівняння:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
якщо
– розв’язок.
3. Завдання для самостійної роботи. Розв’язати рівняння:
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
якщо
–розв’язок.
Заняття 10 – 11. Інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку.
1. Установити тип диференціального рівняння і знайти всі його розв’язки:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
.
12)
2. Завдання для самостійної роботи. Установити тип диференціального рівняння і знайти всі його розв’язки:
1)
10)
Заняття 12. Задачі, що розв’язуються за допомогою диференціальних рівнянь.
1. Розв’язати задачі:
1.
Знайти криву, яка проходить через точку
,
якщо кутовий коефіцієнт дотичної до
неї в будь-якій її точці дорівнює квадрату
ординати точки.
2. Знайти криві, у яких довжина піддотичної дорівнює сумі координат точки дотику. (Піддотична – проекція відрізка дотичної, який з’єднує точку дотику з точкою перетину дотичної з віссю абсцис).
3. Знайти криву, для якої площа, обмежена кривою, осями координат і змінною ординатою, пропорційна довжині дуги, що обмежує цю площу зверху.
4.
За який час тіло, нагріте до
,
охолоне до
в кімнаті з температурою
,
якщо до
воно охолоджується за 10 хв. (За законом
Ньютона швидкість охолодження пропорційна
різниці температур).
5.
У резервуар, який містить 10 кг солі на
100 л суміші, кожну хвилину вливається
30 л води і витікає 20 л суміші. Визначити,
яка кількість солі залишиться в резервуарі
через
хвилин, якщо суміш миттєво перемішується.
6.
Круглий циліндричний бак з вертикальною
віссю діаметром
і висотою
заповнений водою. Визначити час
опорожнення баку через круглий отвір
діаметром
у дні баку. Швидкість витікання води із
отвору в посудині обчислюється за
формулою
,
де
– висота стовпа води від рівня вільної
поверхні до отвору,
– коефіцієнт, який залежить від в’язкості
рідини, форми посудини і т.п. Для води в
звичайних умовах
.
2. Завдання для самостійної роботи. Розв’язати задачі:
1. Знайти криві, у яких довжина піднормалі дорівнює сумі координат точки дотику. (Піднормаль –проекція відрізка нормалі, який з’єднує точку дотику з точкою перетину нормалі з віссю абсцис).
2. Знайти сім’ю кривих, довжина піддотичної в будь-якій точці яких є середнім арифметичним координат точки дотику. (Піддотична – проекція відрізка дотичної, який з’єднує точку дотику з точкою перетину дотичної з віссю абсцис).
3.
Знайти сім’ю кривих, для яких площа
трикутника, утвореного віссю
,
дотичною і радіус-вектором точки дотику,
є постійною величиною.
Заняття 13. Контрольна робота «Інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку»
Заняття 14-15. Диференціальні рівняння вищих порядків, які допускають зниження порядку
1. Зниження порядку рівнянь:
а)
б)
,
в)
г)
д)
та їх інтегрування.
2. Розв’язати диференціальні рівняння:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
3. Завдання для самостійної роботи. Розв’язати рівняння:
1)
2)
.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Заняття 16. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку з сталими коефіцієнтами
1. Означення лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку з сталими коефіцієнтами.
2. Характеристичне рівняння.
3. Фундаментальна система розв’язків однорідного диференціального рівняння другого порядку.
4. Загальний розв’язок однорідного лінійного диференціального рівняння.
5. Побудувати фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок рівнянь:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
.
7)
8)
9)
.
10)
6. Знайти розв’язки рівнянь, які задовольняють вказані початкові умови:
11)
12)
13)
6. Завдання для самостійної роботи. Побудувати фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок рівнянь:
1)
2)
3)
4)
5)
.
6)
7)
8)
.
9)
Знайти розв’язки рівнянь, які задовольняють вказані початкові умови:
10)
11)
12)
Заняття 17–18. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n-го порядку з сталими коефіцієнтами
1. Структура загального розв’язку неоднорідного рівняння.
2. Метод варіації довільних сталих
3. Метод невизначених коефіцієнтів.
4. а) Розв’язати рівняння методом варіації довільних сталих (методом Лагранжа):
1)
2)
3)
4)
б) Записати, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, вигляд частинного розв’язку диференціального рівняння:
6)
7)
8)
9)
.
10)
11)
.
в) Розв’язати рівняння, шукаючи частинні розв’язки методом невизначених коефіцієнтів:
12)
13)
14)
.
15)
.
16)
17)
Вигляд правої частини рівняння Корені характ. рівн. Вигляд частинного розв’язку
– многочлен
а) число 0 не є коренем ха-
– многочлен степеня
степеня ракт. рівняння
б) число 0 є коренем ха-
ракт.
рівняння
кратності
,
а) число
не є коренем
характ. рівняння
б)
число
є коренем
характ. рівняння
кратності
а)
число
не є коренем
характ.
рівн.
б)
число
є коренем
характ.
рівняння +
кратності
а)
число
не є
коренем
характ. рівняння +
б)
число
– корінь
характ. рівняння +
кратності
5. Завдання для самостійної роботи. а) Розв’язати рівняння методом варіації довільних сталих (методом Лагранжа):
1)
2)
3)
4)
б) Розв’язати рівняння, шукаючи частинні розв’язки методом невизначених коефіцієнтів:
5)
6)
7)
.
8)
.
9)
10)
Заняття 19. Диференціальні рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами.
Формула Остроградського-Ліувілля
.
Формула Абеля
.
Означення степеневого ряду. Теорема про диференціювання степеневих рядів.
Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.
Розв’язати рівняння, якщо відомий один його розв’язок:
1)
2)
5. Використовуючи степеневі ряди, побудувати загальні розв’язки рівнянь:
1)
2)
3)
