Общая топология (лекционный материал)
.pdf21
ãáâì y 2 X ¨ " > 0. ãé¥áâ¢ãîâ â ª®¥ n, çâ® 2;n < ", ¨ â ª®¥ r, çâ® f(y) < r < f(y) + 2;n. «¥¤®¢ ⥫ì®, y 2 G(r) ¨ y 62G(r ; 2;n). ¢¥¤¥¬
¬®¦¥á⢮ U = G(r) n G(r ; 2;n). á®, çâ® y 2 U 2 . «¥¥, ¤«ï «î¡®£® z 2 U ¨¬¥¥¬
z 62G(r ; 2;n) =)f(z) > r ; 2;n > f(y) ; 2;n ) =) jf(y) ; f(z)j < 2;n < ";
⥬ á ¬ë¬, f ¥¯à¥àë¢ .
2. ãáâì (X; ) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮. ¢¥¤¥¬ ¯®ï⨥ à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¬®¦¥á⢠: (x; A) = infy2A (x; y).
⢥ত¥¨¥ 2. x 62F = F =) (x; F ) > 0.
®ª § ⥫ìá⢮. ®¦¥á⢮ XnF ®âªàëâ®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â " > 0:
B"(x) X n F , ¨ (x; y) > " 8y 2 F .
¥®à¥¬ 2. á类¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ®à¬ «ì®.
®ª § ⥫ìá⢮. 믮«¥¨¥ ªá¨®¬ë T1 (¨ T2) ®ç¥¢¨¤®. ஢¥à¨¬ T4.
ãáâì F1, F2 { § ¬ªãâë¥ ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬®¦¥á⢠. «ï ¢á类£® x 2 F1 ¯®«®¦¨¬ r1(x) = (x; F2)=2 > 0. ¡à §ã¥¬ ¬®¦¥á⢮ G1 = [x2F1 Br1(x)(x).á®, çâ® F1 G1 2 . «®£¨ç® ¯®áâ㯨¬ á F2:
r2(y) = (y; F1)=2 > 0; G2 = |
[ |
Br2(y)(y); F2 G2 |
2 : |
|
y2F2 |
|
|
थ¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® ©¤¥âáï â®çª |
z 2 G1 \ G2. ®£¤ |
áãé¥áâ¢ãîâ |
|
xk 2 Fk, â ª¨¥ çâ® (xk; z) < rk(xk), k = 1; 2. «¥¤®¢ ⥫ì®, |
|
1
(x1; x2) < r1(x1) + r2(x2) = 2( (x1; F2) + (x2; F1))
1
6 2( (x1; x2) + (x2; x1)) = (x1; x2);
¨ ¬ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ®í⮬ã G1 \ G2 = ;.
3. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. à®áâà á⢮ (X; ) §ë¢ ¥âáï ¬¥âਧ㥬ë¬, ¥á«¨ áãé¥- áâ¢ã¥â â ª ï ¬¥âਪ : X X ! [0; 1), çâ® = .
⢥ত¥¨¥ 3. á类¥ ¬¥âਧ㥬®¥ ¯à®áâà á⢮ ®à¬ «ì®.®ª § ⥫ìá⢮. ¥®à¥¬ 2.
¥®à¥¬ 3 ( àëá®). ®à¬ «ì®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ á® áç¥â- ®© ¡ §®© ¬¥âਧ㥬®.
¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠.
¯à ¦¥¨¥. ।ê⥠¤¢ § ¬ªãâëå ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯®¤¬®¦¥á⢠A
22
x3. ®¬¯ ªâë¥ ¬®¦¥áâ¢
1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. ®¦¥á⢮ Y X §ë¢ ¥âáï ª®¬¯ ªâë¬, ¥á«¨ ¨§ «î¡®£® ¥£® ®âªàë⮣® ¯®ªàëâ¨ï ¬®¦® ¢ë¡à âì ª®¥ç®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥, â.¥.
|
[ |
|
|
N |
|
Y |
U ; U 2 |
=) 9 1; :::; N : Y |
[ |
U k : |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
⢥ত¥¨¥ 1. ᫨ ¬®¦¥á⢠Y1, ... Ym ª®¬¯ ªâë, â® ¨å ®¡ê¥¤¨¥¨¥ Y = [mj=1Yj ⮦¥ ª®¬¯ ªâ®.
⢥ত¥¨¥ 2. ãáâì Y { ª®¬¯ ªâ®, F { ¥£® § ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮, F = F Y . ®£¤ F ª®¬¯ ªâ®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì F [ U , U 2 . ®«®¦¨¬ V = (X n F ) 2 . ®£¤
|
|
[ |
|
[ |
|
|
|
|
|
N |
|
|
[ |
|
Y ( |
U ) |
V |
=) |
9 1; :::; N : Y ( |
[ |
U k ) |
V |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
¨ F kN=1 U k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
S |
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ਬ¥àë. 1) |
X |
= fx |
; :::; x |
g { ª®¬¯ ªâ®; |
|
|
|
|
|
|
||||
2) Rn ¥ ª®¬¯ ªâ®. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
¥®à¥¬ 1. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠, ¯à¨ç¥¬ X ª®¬- |
||||||||||||||
¯ ªâ®. ᫨ f 2 C(X; Y ), â® f(X) ª®¬¯ ªâ® ¢ Y . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f(X) [ V , V 2 Y . ®¦¥á⢠|
U = f;1(V ) |
|||||||||||||
®âªàëâë ¢ X. ¬¥¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[ |
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
X |
U =) X |
[ |
U k =) f(X) |
[ |
V k |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
2. ãáâì (X; ) { å ã᤮à䮢® ¯à®áâà á⢮. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
⢥ত¥¨¥ 3. ãáâì K X, K ª®¬¯ ªâ®, y 62K. ®£¤ |
áãé¥áâ¢ãîâ |
®âªàëâë¥ ¬®¦¥á⢠U, V , â ª¨¥ çâ® K U, y 2 V , U \ V = ;.
®ª § ⥫ìá⢮. «ï «î¡®© â®çª¨ x 2 K áãé¥áâ¢ãîâ ®âªàëâë¥ Ux, Vx, ¤«ï ª®â®àëå x 2 Ux, y 2 Vx, Ux \ Vx = ;. ᨫ㠪®¬¯ ªâ®á⨠K, ¨§ ⮣®, çâ®
K [xUx, ¢ë⥪ ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ â®çª¨ x1; :::; xN , â ª¨¥ çâ® K [Nj=1Uxj .áâ ¥âáï ¯®«®¦¨âì
NN
U = |
[ |
Uxj ; |
V = |
\ |
Vxj : |
|
j=1 |
|
|
j=1 |
|
23
⢥ত¥¨¥ 4. å ã᤮à䮢®¬ ¯à®áâà á⢥ «î¡®¥ ª®¬¯ ªâ®¥ ¬®¦¥- á⢮ § ¬ªãâ®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì K { ª®¬¯ ªâ® ¢ X. ® ¯à¥¤ë¤ã饬ã ã⢥ত¥¨î ¤«ï «î¡®© â®çª¨ y 62K áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ V , â ª®¥ çâ® y 2 V X n K.«¥¤®¢ ⥫ì®, (X n K) 2 .
¥®à¥¬ 2. ᫨ (X; ) { ª®¬¯ ªâ®¥ å ã᤮à䮢® ¯à®áâà á⢮, â® ®® ®à¬ «ì®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì F1, F2 { § ¬ªãâë¥ ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬®¦¥á⢠. ᨫã ã⢥ত¥¨ï 2, F1 ¨ F2 ª®¬¯ ªâë. «ï ª ¦¤®© y 2 F2 ©¤¥¬, ᮣ« á® ã⢥ত¥¨î 3, ®âªàëâë¥ ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬®¦¥á⢠Uy, Vy, â ª¨¥ çâ® F1 Uy, y 2 Vy. ¬¥¥¬
|
[ |
|
|
|
|
|
|
N |
|
F2 |
Vy |
=) |
9fy1; :::; yN g : |
F2 |
[ |
Vyk : |
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
®«®¦¨¬ |
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
G1 = |
\ |
Uyk ; G2 = |
[ |
Vyk : |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|
⨠¬®¦¥á⢠®âªàëâë ¨ ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ⥬ á ¬ë¬, ¬ë ¯à®¢¥à¨«¨ T 4. |
|||||||||
⢥ত¥¨¥ 5. ãáâì X { ª®¬¯ ªâ®¥ ¯à®áâà á⢮, Y { å ã᤮à䮢®, |
|||||||||
®â®¡à ¦¥¨¥ f : |
X ! Y |
|
¡¨¥ªâ¨¢®. ᫨ f ¥¯à¥à뢮, â® ¨ ®¡à ⮥ |
®â®¡à ¦¥¨¥ f;1 ¥¯à¥à뢮 (â.¥. f { £®¬¥®¬®à䨧¬).
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ F = F X, â® F ª®¬¯ ªâ®. ® ⥮६¥ 1 ¬®¦¥- á⢮ f(F ) ⮦¥ ª®¬¯ ªâ®, ¨ á«¥¤®¢ ⥫ì®, § ¬ªãâ®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ®â®¡à ¦¥¨ï f;1 ¯à®®¡à § «î¡®£® § ¬ªã⮣® ¬®¦¥á⢠§ ¬ªãâ.
¯à ¦¥¨ï.
1)®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®¬¯ ªâëå ¯à®áâà á⢠ª®¬¯ ªâ®.
2)®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ f : R ! R { ¥¯à¥àë¢ ï ¡¨¥ªæ¨ï, â® f;1 â ª¦¥ ¥¯à¥àë¢ .
x4. ®¬¯ ªâ®áâì ¢ ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢠å
1. ®¬¯ ªâ®áâì ¢ Rn.
¥®à¥¬ 1 ( ¥©¥ { ®à¥«ì). â१®ª [a; b] ª®¬¯ ªâ¥.
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® [a; b] [ U ¨ ¨§ ®âªàë⮣® ¯®ªàëâ¨ï U ¥«ì§ï ¢ë¡à âì ª®¥ç®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥. §¤¥«¨¬ ®â१®ª ¯®¯®« ¬ ¨ ®¡®- § 稬 ç¥à¥§ [a1; b1] â®â, ª®â®àë© ¥«ì§ï ¯®ªàëâì ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¬®¦¥áâ¢
U . â.¤. n-®¬ è £¥ ¯®«ã稬 ®â१®ª [an; bn], ¤«¨ ª®â®à®£® à ¢ (b;a)2;n. ® ⥮६¥ ® ¢«®¦¥ëå ¯à®¬¥¦ã⪠å áãé¥áâ¢ã¥â â®çª c, ¯à¨ ¤-
«¥¦ é ï ¢á¥¬ [an; bn]. ® ãá«®¢¨î c 2 U 0 ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ m, çâ® [am; bm] U 0 . à®â¨¢®à¥ç¨¥.
⢥ত¥¨¥ 1. à ««¥«¥¯¨¯¥¤ [a1; b1] ::: [an; bn] ª®¬¯ ªâ¥ ¢ Rn.
24
¥®à¥¬ 2. ®¦¥á⢮ K Rn ª®¬¯ ªâ® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®® § ¬ªãâ® ¨ ®£à ¨ç¥®.
®ª § ⥫ìá⢮. =)) ¬ªãâ®áâì ª®¬¯ ªâ®£® K ¢ë⥪ ¥â ¨§ å ã᤮àä®- ¢®á⨠Rn. ®ª ¦¥¬ ®£à ¨ç¥®áâì.
|
1 |
|
|
K |
[ |
Bm(0) =) 9M : |
K BM (0): |
|
m=1 |
|
|
(=) K { ®£à ¨ç¥®, § ç¨â, K Q = [;L; L] ::: [;L; L] ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ L. ®¦¥á⢮ Q ª®¬¯ ªâ®, K § ¬ªãâ®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª®¬¯ ªâ®.
«¥¤á⢨¥ 1. ä¥à S2 ¥ £®¬¥®¬®àä ¯«®áª®á⨠R2.
«¥¤á⢨¥ 2 (⥮६ ¥©¥àèâà áá ). ãáâì (X; ) { ª®¬¯ ªâ®¥ ⮯®- «®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, f { ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, f 2 C(X; R). ®£¤ f ®£à ¨ç¥ ¨ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ â®çª¨ a; b 2 X, çâ® f(a) = minx2X f(x), f(b) = maxx2X f(x).
¬¥ç ¨¥. ãáâì (X; ) { ª®¬¯ ªâ®. ¨¥©®¥ ¯à®áâà á⢮ C(X; R) ï- ¥âáï ¡ å®¢ë¬ á ®à¬®© kfk = maxx2X jf(x)j.
2. ãáâì (X; ) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. ®¦¥á⢮ M §ë¢ ¥âáï ᥪ¢¥æ¨ «ì® ª®¬¯ ªâë¬, ¥á«¨ ¨§ «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠â®ç¥ª fxng M ¬®¦® ¢л¡а вм б室пйгобп ª ¥ª®в®а®© в®зª¥ M ¯®¤¯®б«¥¤®¢ в¥«м®бвм xnk ! x 2 M.
⢥ত¥¨¥ 2. ¥ª¢¥æ¨ «ì® ª®¬¯ ªâ®¥ ¬®¦¥á⢮ § ¬ªãâ®.
¥®à¥¬ 3. ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬®¦¥á⢮ ª®¬¯ ªâ® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®® ᥪ¢¥æ¨ «ì® ª®¬¯ ªâ®.
¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠.
¯à ¦¥¨ï.
1) ®¦¥á⢮ M §ë¢ ¥âáï ¢¯®«¥ ®£à ¨ç¥ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® " > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥çë© ¡®à â®ç¥ª fy1; :::yng, â ª®© çâ® M [Nk=1B"(yk).®ª ¦¨â¥, çâ® ¢ ¯®«®¬ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥ ¬®¦¥á⢮ ᥪ¢¥æ¨ «ì®
ª®¬¯ ªâ® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®® § ¬ªãâ® ¨ ¢¯®«¥ ®£à ¨ç¥® (⥮६ ã᤮àä ).
2) ᫨ X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ á® áç¥â®© ¡ §®©, â® ¨§ «î¡®£® ¥£® ®âªàë⮣® ¯®ªàëâ¨ï ¬®¦® ¢ë¡à âì áç¥â®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥.
25
« ¢ IV. ®¬®â®¯¨¨
x1. ®¬®â®¯ë¥ ®â®¡à ¦¥¨ï
1. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠, f; g 2 C(X; Y ).
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. â®¡à ¦¥¨ï f ¨ g §ë¢ îâáï £®¬®â®¯ë¬¨ (¬ë ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì f g), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ F 2 C(X [0; 1]; Y ), çâ® F(x; 0) = f(x), F (x; 1) = g(x).
⢥ত¥¨¥ 1. ®¬®â®¯¨ï { ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠C(X; Y ).®ª § ⥫ìá⢮. 1) f f, â.ª. ¬®¦® ¢§ïâì F (x; t) = f(x).
2)᫨ f g, â® g f, â.ª. ¬®¦® ¢§ïâì G(x; t) = F (x; 1 ; t).
3)᫨ f g ¨ g h, â® f h, â.ª. ¬®¦® ¢§ïâì
F (x; 2t); |
0 6 t 6 1=2; |
H(x; t) = " G(x; 2t ; 1); |
1=2 6 t 6 1; |
£¤¥ F ¨ G { ®â®¡à ¦¥¨ï, ॠ«¨§ãî騥 £®¬®â®¯¨¨ f g ¨ g h.
2. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, x0 2 X.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. à®áâà á⢮ X §ë¢ ¥âáï áâ¢ ¥¬ë¬, ¥á«¨ £®¬®â®¯ë ®â®¡à ¦¥¨ï f0 ¨ f1, £¤¥ f0(x) = x0, f1(x) = x.
⢥ত¥¨¥ 2. ᫨ ¯à®áâà á⢮ X áâ¢ ¥¬®, â® ®® «¨¥©® á¢ï§®.
®ª § ⥫ìá⢮. ® ãá«®¢¨î áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ F 2 C(X [0; 1]; X), çâ® F(x; 0) = x0, F (x; 1) = x. «ï ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ y 2 X à áᬮâਬ ®â®- ¡à ¦¥¨¥ g : [0; 1] ! X, g(t) = F(y; t). á®, çâ® g ¥¯à¥à뢮, g(0) = x0, g(1) = y, ⥬ á ¬ë¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ᮥ¤¨ïî騩 y ¨ x0. «®£¨ç®, ¤«ï «î¡®© z 2 X áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ᮥ¤¨ïî騩 z ¨ x0, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ¯ãâì, ᮥ¤¨ïî騩 y ¨ z.
⢥ত¥¨¥ 3. ¯à¥¤¥«¥¨¥ áâ¢ ¥¬®á⨠¥ § ¢¨á¨â ®â â®çª¨ x0.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì x0 2 X, X { áâ¢ ¥¬®. ãáâì x~ 2 X. ®ª ¦¥¬, çâ®
f0 f~, £¤¥ f0(x) = x0, f~(x) = x~. X { «¨¥©® á¢ï§®, ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì h 2 C([0; 1]; X), h(0) = x0, h(1) = x~. ¥¯¥àì ¤®áâ â®ç® ¢§ïâì F (x; t) = h(t).
ਬ¥à. î¡®¥ ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¦¥á⢮ M Rn áâ¢ ¥¬®. ¥©á⢨⥫ì®,
¯ãáâì x0 2 M. ®«®¦¨¬ F(x; t) = t(x;x0 )+x0. ¬¥¥¬ F (x; t) 2 M, 8x 2 M; t 2 [0; 1], F ¥¯à¥à뢮, F (x; 0) = x0, F (x; 1) = x. ç áâ®áâ¨, Rn áâ¢ ¥¬®.
¯à ¦¥¨¥. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠, ¯à¨ç¥¬ Y áâ¢ ¥- ¬®. ®ª ¦¨â¥, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ ¥¯à¥àë¢ëå ®â®¡à ¦¥¨ï ¨§ X ¢ Y £®¬®â®¯ë.
x2. ¥®à¥¬ à ãíà
¥®à¥¬ 1. ä¥à Sn;1 ¥ áâ¢ ¥¬ .
®ª § ⥫ìá⢮. ë à áᬮâਬ ⮫쪮 á«ãç © n = 2 (®ªà㦮áâì), á«ã-
26
롥६ ®ªà㦮á⨠âਠâ®çª¨ A, B ¨ C. ।¯®«®¦¨¬, è¥ ã⢥à- ¦¤¥¨¥ ¥¢¥à® ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®â®¡à ¦¥¨¥ F 2 C(S1 [0; 1]; S1), ¤«ï ª®â®à®£® F(x; 0) = A, F (x; 1) = x, F (A; t) = A. §¢¥à¥¬ 樫¨¤à S1 [0; 1] ¢ ¯àï-
¬®ã£®«ì¨ª (à §àë¢ ®ªà㦮á⨠¯® â®çª¥ A) ¨ à §®¡ì¥¬ ¥£® ª¢ ¤à âë, ª ¦¤ë© ª¢ ¤à â { ¤¢ âà¥ã£®«ì¨ª . ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤ë© 㧥« ¯®- «ã稢襩áï á¥âª¨ á«ã¦¨â ¢¥à訮© è¥á⨠âà¥ã£®«ì¨ª®¢. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® âਠ£ã«ïæ¨ï á⮫쪮 ¬¥«ª ï, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© ¢¥àè¨ë V ®¡à § ¢á¥å è¥á⨠âà¥ã£®«ì¨ª®¢ ¯à¨ ®â®¡à ¦¥¨¨ F ᮤ¥à¦¨âáï ¢ãâਠ¤ã£¨ (ABC), «¨¡® (BCA), «¨¡® (CAB). ®¯®áâ ¢¨¬ ª ¦¤®© ¢¥à訥 V ᮮ⢥âá⢥® ¡ã- ª¢ã B, «¨¡® C, «¨¡® A. ¢¥à奩 "áâப¥" ¯àאַ㣮«ì¨ª ®ª ¦¥âáï á«®¢® AA:::BB:::CC:::AA, ¢ ¨¦¥© ¨ ¡®ª®¢ëå áâ®à® å ¡ã¤ãâ ⮫쪮 ¡ãª¢ë A. ⬥⨬, çâ® ¥ ¬®¦¥â ®ª § âìáï â ª, çâ® ¢¥àè¨ ¬ ª ª®£®-â® ®¤®£® âà¥ã£®«ì¨ª ᮯ®áâ ¢«¥ë âà¨ à §ë¥ ¡ãª¢ë.
¥¯¥àì ᮥ¤¨¨¬ ¢¥à娥 «¥¢ãî ¨ ¯à ¢ãî ¢¥àè¨ë 襣® ¯àאַ㣮«ì¨-
ª «®¬ ®©. 㤥¬ ¤¢¨£ âì ¥¥ ¢¨§, "®âªãáë¢ ï" |
ª ¦¤®¬ è £¥ ¯® ®¤®¬ã |
âà¥ã£®«ì¨ªã, â ª çâ® ¢ ¯¥à¢ë© ¬®¬¥â ® ᮢ¯ ¤ « |
á ¢¥à奩 áâ®à®®©, ¢ |
¯®á«¥¤¨© { á âà¥¬ï ®áâ «ì묨 áâ®à® ¬¨ ¯àאַ㣮«ì¨ª . ª ¦¤®¬ è - £¥ ᮯ®áâ ¢¨¬ «®¬ ®© ç¨á«® ¯® á«¥¤ãî饬㠫£®à¨â¬ã. ᫨ §¢¥® «®¬ ®© ᮥ¤¨ï¥â ¤¢¥ ¢¥àè¨ë, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ®¤¨ ª®¢ë¥ ¡ãª¢ë, â.¥. AA, BB ¨«¨ CC, â® â ª®¬ã §¢¥ã ᮯ®áâ ¢¨¬ 0. ᫨ §¢¥® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥- 室ã (¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨ ¯® «®¬ ®© á«¥¢ ¯à ¢®) AB, BC ¨«¨ CA, â® 1, ¥á«¨ ¯¥à¥å®¤ã AC, CB ¨«¨ BA, â® -1. ¢á¥© «®¬ ®© { á㬬ã ç¨á¥«, ᮯ®áâ ¢«¥- ëå §¢¥ìï¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â «®¬ ®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¨á«® 3, ¢ ª®¥çë© { 0. ¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯à¨ "áꥤ ¨¨" ®¤®£® âà¥ã£®«ì¨ª á㬬 , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï «®¬ ®© ¨§¬¥¨âìáï ¥ ¬®¦¥â (â.ª. á â®ç®áâìî ¤® § ¬¥ë ¡ãª¢ ª ¦¤ë© âà¥ã£®«ì¨ª { íâ® «¨¡® AAB, «¨¡® ABA, «¨¡® AAA). ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î.
¥®à¥¬ 2 ( à ãíà). ãáâì B { ¥¤¨¨çë© è à ¢ Rn, f : B ! B { ¥¯à¥- à뢮¥ ®â®¡à ¦¥¨¥. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¯®¤¢¨¦ ï â®çª x = f(x).
®ª § ⥫ìá⢮. n = 1). ¤¥áì f 2 C[;1; 1]. ®«®¦¨¬ g(t) = t ; f(t). ¬¥¥¬ g(;1) 6 0, g(1) > 0, á«¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï â®çª t, çâ® g(t) = 0 ¨ f(t) = t.
n > 2). ।¯®«®¦¨¬, çâ® f 2 C(B; B) ¨ f(x) 6= x ¨ ¯à¨ ª ª®¬ x 2 B.¯à¥¤¥«¨¬ â®çªã h(x) ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ «ãç [f(x); x) á® áä¥à®© S. á®, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ h : B ! S ¥¯à¥à뢮 ¨ çâ® h(x) = x, ¥á«¨ x 2 S. ¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票¥ x0 := h(0) 2 S ¨ à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥ F : S [0; 1] ! S, § ¤ ®¥ ¯® ä®à¬ã«¥ F (x; t) = h(tx). .ª. F(x; 0) = x0, F (x; 1) = x, ®âáî¤ á«¥¤®¢ «® ¡ë, çâ® áä¥à áâ¢ ¥¬ , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥. ç¨â, è¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ¥¢¥à® ¨ áãé¥áâ¢ã¥â å®âï ¡ë ®¤ ¥¯®¤¢¨¦ ï â®çª .
ਬ¥àë. 1) ᫨ à áᬮâà¥âì ¯«®áª®á⨠ª®«ìæ® X, â® ¯®¢®à®â ª ª®©- ¨¡ã¤ì 㣮« ï¥âáï ¥¯à¥àë¢ë¬ ®â®¡à ¦¥¨¥¬ X ¢ ᥡï, ¥ ¨¬¥î騬 ¥- ¯®¤¢¨¦ëå â®ç¥ª.
2) áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ âãà «ìëå ç¨á¥« ª ª ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà - á⢮ á ¬¥âਪ®© (n; m) = 1 ; nm. â®¡à ¦¥¨¥ f(n) = n + 1 ï¥âáï ¥- ¯à¥àë¢ë¬ ®â®¡à ¦¥¨¥¬ § ¬ªã⮣® ¥¤¨¨ç®£® è à ¢ ᥡï, ¥ ¨¬¥î騬
27
¯à ¦¥¨¥. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, £®¬¥®¬®à䮥 § ¬ªã- ⮬ã è àã ¢ Rn. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¢á类¥ ¥¯à¥à뢮¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ¯à®áâà - á⢠X ¢ á¥¡ï ¨¬¥¥â ¥¯®¤¢¨¦ãî â®çªã.
x3. 㤠¬¥â «ì ï £à㯯
1. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, x0 2 X.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1. ¥â«¥© §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ' 2 C([0; 1]; X), çâ® '(0) = '(1) = x0. ®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯¥â¥«ì á ç «®¬ ¨ ª®æ®¬ ¢ x0 ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ .
⢥ত¥¨¥ 1. ®¬®â®¯¨ï { ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠¢ .
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2. « ááë íª¢¨¢ «¥âëå ¯¥â¥«ì ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ['] = f 2: 'g. ®¦¥á⢮ ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥â®á⨠®¡®§ 稬 1(X; x0) = f[']g.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 3. ந§¢¥¤¥¨¥¬ ¯¥â¥«ì §®¢¥¬
(' |
)(t) = " |
'(2t); t 6 1=2 |
(2t ; 1); t > 1=2 |
||
¬¥ç ¨¥. á®, çâ® ' |
2 . |
|
⢥ত¥¨¥ 2. |
|
|
' ';~ |
~; =) ' '~ ~: |
ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®à४⮠®¯à¥¤¥«¥® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ['] [ ] = [' ].
¥®à¥¬ 1. 1(X; x0) { £à㯯 .
®ª § ⥫ìá⢮. 1) ®«®¦¨¬ '0(t) = x0. ஢¥à¨¬, çâ® ª« áá ¯¥â¥«ì, £®- ¬®â®¯ëå '0, ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨ ¥¤¨¨æë £à㯯ë, e = ['0]. ãáâì ' 2 ,
= ' e, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) = " |
'(2t); |
t 6 1=2 |
|
|
||||
|
|
x0; t > 1=2 |
|
|
||||
â®¡à ¦¥¨¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (s; t) = 2' |
|
2s |
|
; |
0 6 s 6 |
t |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
t + 1 |
|
2 |
|||||
4 |
|
|
|
x0; (t + 1)=2 6 s 6 1 |
||||
6 |
|
|
||||||
¯à¨ ¤«¥¦¨â ª« ááã C([0; 1] [0; 1]; X) ¨ F (s; 0) = |
(s), F (s; 1) = '(s). ¥¬ |
á¬ë¬, '.
2)®«®¦¨¬ ';1(t) = '(1 ; t). ஢¥à¨¬, çâ® ª« áá ¯¥â¥«ì [';1] ®¡« ¤ ¥â
᢮©á⢠¬¨ ®¡à ⮣® í«¥¬¥â , ['];1 = [';1]. ãáâì = ' ';1,
(t) = " |
'(2t); t 6 |
1=2 |
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
â®¡à ¦¥¨¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x0; |
s 6 t=2 |
|
|
F (s; t) = |
|
'(2s |
; t); t=2 6 s 6 |
1=2 |
|||
'(2 |
; 2s |
; t); |
1=2 6 s 6 |
1 ; t=2 |
|||
|
6 |
||||||
|
4 |
|
|
x0; |
1 ; t=2 6 s |
||
|
|
|
|
||||
¯à¨ ¤«¥¦¨â ª« ááã C([0; 1] [0; 1]; X) ¨ F (s; 0) = |
(s), F (s; 1) = x0. ¥¬ |
á¬ë¬, '0.
3)ãáâì '; ; 2 . ®ª ¦¥¬, çâ® (' ) ' ( ). ã¦ë¬¨
᢮©á⢠¬¨ ®¡« ¤ ¥â ®â®¡à ¦¥¨¥
F (s; t) = 2 |
|
' |
4s |
; |
0 6 s 6 |
t + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t + 1 |
4 |
|
|||||
|
(4s ; t ; 1); |
(t + 1)=4 6 s 6 (t + 2)=4 |
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4s ; 2 ; t |
; |
t + 2 |
6 s 6 1 |
|
||
|
2 ; t |
4 |
|
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4. 1(X; x0) §ë¢ ¥âáï ä㤠¬¥â «ì®© £à㯯®© ¯à®áâà - á⢠X á ®â¬¥ç¥®© â®çª®© x0.
ਬ¥àë. 1) 㤠¬¥â «ì ï £à㯯 ªà㣠|
âਢ¨ «ì . 2) 㤠¬¥â «ì- |
ï £à㯯 ª®«ìæ ¯«®áª®á⨠¥âਢ¨ «ì |
(¨§®¬®àä Z). |
2. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠. í⮬ ¯ãªâ¥ ¬ë ¤®ª ¦¥¬, çâ® ä㤠¬¥â «ìë¥ £àã¯¯ë £®¬¥®¬®àäëå ¯à®áâà á⢠¨§®¬®àäë.
¥®à¥¬ 2. ãáâì f : X ! Y { £®¬¥®¬®à䨧¬, f(x0) = y0. ®£¤ 1(X; x0) '
1(Y; y0).
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì
X = f' 2 C([0; 1]; X) : '(0) = '(1) = x0g;
Y = f 2 C([0; 1]; Y ) : (0) = (1) = y0g:
â®¡à ¦¥¨¥ G : X ! Y , ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®© ¯¥â«¥ ' 2 x ¯¥â«î G(') = f ' 2 Y , ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©. ᫨ ' '~, â® G(') G('~). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®§¨ª ¥â ¡¨¥ªæ¨ï
g : 1(X; x0) ! 1(Y; y0); g['] = [G(')]:
஢¥à¨¬, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ g ¯¥à¥¢®¤¨â ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥. ãáâì '1; '2 2 X, G('1) = 1, G('2) = 2. ¬¥¥¬
|
f('1(2t)); t 6 1=2 |
# |
G('1 '2)(t) = f(('1 '2)(t)) = " f('2(2t ; 1)); t > 1=2 |
||
= " |
1(2t); t 6 1=2 # = ( )(t) =) |
|
29
G('1 '2) = 1 2 =) g(['1] ['2]) = g['1] g['2]: |
|
3. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⮣®, çâ® ä㤠¬¥â «ì ï £à㯯 «¨¥©® á¢ï§®£® ¯à®áâà á⢠¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à â®çª¨ x0, ¬ ¯® ¤®¡ïâáï á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï. ãáâì 1, 2 { ¯ã⨠¢ X,2(0) = 1(1). ®«®¦¨¬
1(2t); |
t 6 1=2 |
( 1 2)(t) = " 2(2t ; 1); |
t > 1=2 |
( 1 2 { ¯ãâì ¢ X) ¨ ;1(t) = (1 ; t). á®, çâ® ( 1 2) 3 1 ( 2 3).᫨ (0) = x0, â® ;1 2 x0 ¨ [ ;1] = e ¢ 1(X; x0).
⢥ত¥¨¥ 3. ãáâì x0; x1 2 X. ᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì , ᮥ¤¨ïî騩 â®çª¨ x0 ¨ x1, â® 1(X; x0) ' 1(X; x1).
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ' 2 x0 . ®«®¦¨¬ G' = ;1 ' 2 x1 . ᫨
' '~, â® G' G'~. ®§¨ª ¥â ®â®¡à ¦¥¨¥ g : 1(X; x0) ! 1(X; x1). ® ®¯à¥¤¥«¥¨î § ¤ ¤¨¬ ®â®¡à ¦¥¨¥ G;1 : 7! ;1 (íâ® ¥ ®¡à ⮥
®â®¡à ¦¥¨¥). ® ¯®à®¦¤ ¥â g;1 : 1(X; x1) ! 1(X; x0). â® ®â®¡à ¦¥¨¥ 㦥 ï¥âáï ®¡à âë¬ ª g, â.ª.
g;1(g [']) = g;1[ ;1 ' ] = [ ;1 ' ;1] = [ ;1] ['] [ ;1] = [']:
ª¨¬ ®¡à §®¬, g { ¡¨¥ªæ¨ï.
ãáâì ⥯¥àì '1; '2 2 x0 . ¬¥¥¬
g(['1] ['2]) = g(['1 '2]) = [ ;1 '1 '2 ]
= [ ;1 '1 ] [ ;1 '2 ] = g['1] g['2]:
«¥¤á⢨¥. ᫨ X «¨¥©® á¢ï§®¥ ¯à®áâà á⢮, â® 1(X; x) ' 1(X; y) ¯à¨ «î¡ëå x, y.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4'. 1(X) §ë¢ ¥âáï ä㤠¬¥â «ì®© £à㯯®© «¨¥©® á¢ï§- ®£® ¯à®áâà á⢠X (£à㯯 ã ª à¥).
¬¥ç ¨¥. Henri Poincare, 1854 { 1912.
4.ਬ¥àë.
1)᫨ ¯à®áâà á⢮ X áâ¢ ¥¬®, â® 1(X) ' f0g. ç áâ®áâ¨, ä㤠-
¬¥â «ì ï £à㯯 Rn âਢ¨ «ì .
2) |
1(S1) ' Z. |
|
3) 㤠¬¥â «ì ï £à㯯 â®à ¨§®¬®àä Z2. |
||
4) áᬮâਬ |
¯«®áª®á⨠ªàã£, ¨§ ª®â®à®£® ¢ë१ ë ¤¢ ¬¥ìè¨å ¥¯¥- |
|
à¥á¥ª îé¨åáï ªà㣠|
(ªà¥¤¥«ì). 㤠¬¥â «ì ï £à㯯 â ª®£® ¯à®áâà - |
|
á⢠|
¥ ¡¥«¥¢ . |
|
30
¯à ¦¥¨¥. ãáâì Q = [0; 1]n { ªã¡, @Q { ¥£® £à ¨æ , = f' 2 C(Q; X) : '(@Q) = x0g. ®¬®â®¯¨ï { ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠. ['] { ª« áá íª¢¨¢ «¥â®áâ¨. ¢¥¤¥¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥
(' |
)(t1; t2; :::; tn) = " |
'(2t1; t2 |
; :::; tn); |
t1 |
6 1=2 |
(2t1 ; 1; t2 |
; :::; tn); |
t1 |
> 1=2 |
®à४⮠®¯à¥¤¥«¥® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ |
['] [ ] |
= [' |
n(X; x0) { n-¬¥à ï £®¬®â®¯¨ç¥áª ï £à㯯 |
¯à®áâà |
|
â®çª®© x0. ®ª ¦¨â¥, çâ® n(X; x0) { |
¡¥«¥¢ |
£à㯯 |
]. ®§¨ª ¥â £à㯯 á⢠X á ®â¬¥ç¥®© ¯à¨ n > 2.