Общая топология (лекционный материал)

11

¥®à¥¬ 1. ¨­¥©­® á¢ï§­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X á¢ï§­®.®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì

U; V 2 X; X = U [ V; U \ V = ;:

ãáâì x 2 U, y 2 V . ãé¥áâ¢ã¥â ­¥¯à¥à뢭®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : [0; 1] ! X, â ª®¥ çâ® f(0) = x, f(1) = y. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ f([0; 1]) ­¥ á¢ï§­®, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â १ã«ìâ â ¬ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä .

2. ਬ¥àë. 1) áᬮâਬ ¢ R2 ¬­®¦¥á⢮

A = f(x; sin(1=x)); x 6= 0g [ f(0; y); y 2 [;1; 1]g:

­®¦¥á⢮ A á¢ï§­®, ­® ­¥ «¨­¥©­® á¢ï§­®.

2) ­®¦¥á⢮ M Rn ­ §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x; y 2 M ¢¥áì ®â१®ª ftx + (1 ; t)y; t 2 [0; 1]g ᮤ¥à¦¨âáï ¢ M. á类¥ ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ «¨­¥©­® á¢ï§­®; ¢ ç áâ­®áâ¨, Rn ¨ Br(x).

¯à ¦­¥­¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® áä¥à Sn á¢ï§­ .

12

« ¢ II. ¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠x1. ááâ®ï­¨¥

1. ãáâì X { ¬­®¦¥á⢮, : X X ! [0; 1).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. (X; ) ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, ¥á«¨ ¢ë¯®«- ­¥­ë á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë:

1)(x; y) = 0 () x = y;

2)(x; y) = (y; x) 8x; y 2 X;

3)(x; z) 6 (x; y) + (y; z) 8x; y; z 2 X (­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª ).

ã­ªæ¨ï ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥âਪ®© ¨«¨ à ááâ®ï­¨¥¬. ஬ á 業â஬ ¢ â®çª¥ x à ¤¨ãá r ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ Br(x) = fy 2 X : (x; y) < rg.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ­®¦¥á⢮ U X ­ §ë¢ ¥âáï ®âªàëâë¬, ¥á«¨

8x 2 U 9" > 0 : B"(x) U:

в¢¥а¦¤¥­¨¥ 1. ¡®а ®вªалвле ¬­®¦¥бв¢ ¨§ ®¯а¥¤¥«¥­¨п 2 ®¡а §г¥в в®¯®«®£¨о.

®ª § ⥫ìá⢮. ¥à¢ë¥ ¤¢ ᢮©á⢠®ç¥¢¨¤­ë. ஢¥à¨¬ âà¥âì¥. ãáâì Uk 2 , V = \nk=1Uk. ãáâì x 2 V . ãé¥áâ¢ãîâ "k > 0, â ª¨¥ çâ® B"k (x) Uk.®«®¦¨¬ " = mink=1;:::;n "k > 0. ®£¤ B"(x) V , á«¥¤®¢ ⥫쭮, V 2 .

⢥ত¥­¨¥ 2. ¥¬¥©á⢮ ¢á¥å è ஢ B = fBr(x) : x 2 X; r > 0g ï¥âáï ¡ §®© ⮯®«®£¨¨ .

⢥ত¥­¨¥ 3. ãáâì A { ¯®¤¬­®¦¥á⢮ X. ®£¤

®ª ¦¥¬, ç⮠ᥬ¥©á⢮ B = fB1=m(xk)gk;m2N ï¥âáï ¡ §®©. ãáâì U 2 , y 2 U. ãé¥áâ¢ãîâ m ¨ k, â ª¨¥ çâ® B1=m(y) U ¨ (xk; y) < 1=2m. ®«®¦¨¬ By = B1=2m(xk). á­®, çâ® y 2 By. «¥¥, ¥á«¨ z 2 By, â®

ਬ¥àë. 1) ¢¥¤¥¬ ­ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¬­®¦¥á⢥ X ¬¥âਪã (x; y) = 0, ¥á«¨ x = y, (x; y) = 1, ¥á«¨ x 6= y. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ⮯®«®£¨ï ¤¨áªà¥â­ .

2)X = C , (z1; z2) = jz1 ; z2j.

3)X = Sn.

13

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.

xn ! x () 9 lim (xn; x) = 0:

n!1

⢥ত¥­¨¥ 5 (¥¤¨­á⢥­­®áâì ¯à¥¤¥« ). ᫨ xn ! x ¨ xn ! y, â® x = y.

(=). ãáâì fxng A, xn ! x. «ï «î¡®£® " > 0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ N, çâ® xn 2 B"(x) ¯à¨ ¢á¥å n > N. «¥¤®¢ ⥫쭮, x 2 A.

¥®à¥¬ 1. ãáâì (X; ), (Y; 0) { ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, f : X ! Y , f(x) = y. «¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

1)®â®¡à ¦¥­¨¥ f ­¥¯à¥à뢭® ¢ â®çª¥ x;

2)¥á«¨ xn ! x, â® f(xn) ! y.

®ª § ⥫ìá⢮. 1 =) 2). ãáâì f ­¥¯à¥à뢭® ¢ x ¨ xn ! x. ãáâì " > 0.ãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ > 0, çâ® f(B (x)) B"(y). 稭 ï á ­¥ª®â®à®£® ­®¬¥à xn 2 B (x), ¯®í⮬ã (f(xn); y) < ", ¨ §­ ç¨â, f(xn) ! y.

2 =) 1). ãáâì " > 0. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£®

f(B (x)) 6 B"(y). ®£¤ ¤«ï «î¡®£® n áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï â®çª xn 2 B1=n(x), çâ® f(xn) 62B"(y). ¥¯¥àì xn ! x, ­® f(xn) 6!y. à®â¨¢®à¥ç¨¥.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4. ãáâì f : (X; ) ! (Y; 0) { ¡¨¥ªæ¨ï. â®¡à ¦¥­¨¥ f ­ §ë- ¢ ¥âáï ¨§®¬¥âਥ©, ¥á«¨

0 (f(x1 ); f(x2)) = (x1; x2) 8x1; x2 2 X:

¬¥ç ­¨¥. f { ¨§®¬¥âà¨ï =) f;1 { ¨§®¬¥âà¨ï.

⢥ত¥­¨¥ 7. f { ¨§®¬¥âà¨ï =) f 2 C(X; Y ), f;1 2 C(Y; X).®ª § ⥫ìá⢮.

xn ! x () (xn; x) ! 0 () f(xn) ! f(x):

¯à ¦­¥­¨ï.

1) ®áâன⥠¯à¨¬¥à ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠, ¢ ª®â®à®¬ è à ¡®«ì襣® à ¤¨ãá ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âìáï ¢ è ॠ¬¥­ì襣® à ¤¨ãá .

2) ãáâì p { ¯à®á⮥ ç¨á«®. î¡®¥ à 樮­ «ì­®¥ ç¨á«® q 6= 0 ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ q = ab pn, £¤¥ a, b, n { æ¥«ë¥ ç¨á« , ¯à¨ç¥¬ a ¨ b ­¥ ¤¥«ïâáï ­ p. ¢¥¤¥¬ äã­ªæ¨î ' á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: '(q) = p;n ¯à¨ q 6= 0, '(0) = 0. ®ª ¦¨â¥,

çâ® ä®à¬ã« (q1; q2) = '(q1 ; q2) § ¤ ¥â ­¥ª®â®àãî ¬¥âਪ㠭 ¬­®¦¥á⢥

14

x2. ®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­áâ¢

1. ãáâì E { «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤ ¯®«¥¬ K, K = R ¨«¨ C .

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. E ­ §ë¢ ¥âáï ­®à¬¨à®¢ ­­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, ¥á«¨ ­ ­¥¬ § ¤ ­ ä㭪樮­ «, ᮯ®áâ ¢«ïî騩 ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥­âã x ­¥®âà¨æ ⥫쭮¥ ç¨á«® kxk (­®à¬ x), 㤮¢«¥â¢®àïî騩 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬:

1)kxk = 0 () x = 0;

2)k xk = j jkxk 8 2 K;

3)kx + yk 6 kxk + kyk 8x; y 2 E.

⢥ত¥­¨¥ 1. ãáâì E { ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, (x; y) = kx;yk.®£¤ (E; ) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

®ª § ⥫ìá⢮. 1) ®ç¥¢¨¤­® ¨§ 1);

2)(y; x) = k(;1)(x ; y)k = k(x ; y)k ¢ ᨫã 2);

3)(x; z) = kx ; zk 6 kx ; yk + ky ; zk = (x; y) + (y; z) ᮣ« á­® 3).

2.ਬ¥àë.

1)E = Rn, kxk = px21 + ::: + x2n.

2)E = C[0; 1]. ¢¥¤¥¬ ­®à¬ã kfk = maxx2[0;1] jf(x)j.

⢥ত¥­¨¥ 2. C[0; 1] { ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

®ª § ⥫ìá⢮. 1) kfk = 0 () f(x) = 0; 8x 2 [0; 1]. 2) k fk = j jkfk.

3)

j(f + g)(x)j 6 jf(x)j + jg(x)j 6 kfk + kgk 8x 2 [0; 1] =) max jf(x) + g(x)j 6 kfk + kgk:

¬¥ç ­¨¥. C[0; 1] { ᥯ à ¡¥«ì­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ­¥¬ ¯«®â­® ¬­®¦¥á⢮ ¯®- «¨­®¬®¢ á à 樮­ «ì­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ (¯à®é¥ ¤®ª § âì, ¢¯à®ç¥¬, ¯«®â- ­®áâì ¬­®¦¥á⢠ªãá®ç­® «¨­¥©­ëå ä㭪権).

3) ¥à¥§ l1 ®¡®§­ 稬 ¯à®áâà ­á⢮ ®£à ­¨ç¥­­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¢¥- é¥á⢥­­ëå ç¨á¥«,

x = ( 1; 2; :::; n; :::) 2 l1 () sup j kj < 1:

k2N

15

1) ¥à¥§ lp, p > 1, ®¡®§­ ç ¥âáï ¯à®áâà ­á⢮ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, á㬬¨- à㥬ëå á® á⥯¥­ìî p,

®ª ¦¨â¥, çâ® l1 { ᥯ à ¡¥«ì­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

2) ®ª ¦¨â¥, çâ® lp { ᥯ à ¡¥«ì­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. x3. ®«­ë¥ ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­áâ¢

1. ãáâì (X; ) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fxng1n=1 ­ §ë¢ ¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® " áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ N, çâ® (xn; xm) < " ¯à¨

¢á¥å n; m > N.

⢥ত¥­¨¥ 1. ᫨ xn ! x, â® fxng äã­¤ ¬¥­â «ì­ .®ª § ⥫ìá⢮. 8" > 0 9N : (xn; x) < "=2 8n > N =)

(xn; xm) 6 (xn; x) + (x; xm) < " 8n; m > N:

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. à®áâà ­á⢮ X ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«­ë¬, ¥á«¨ «î¡ ï äã­¤ - ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ï¥âáï á室ï饩áï.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. ®«­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ §ë¢ ¥âáï ¡ ­ å®- ¢ë¬.

¬¥ç ­¨¥. Stefan Banach, ®«ìè , 1892 { 1945.

ਬ¥àë ¯®«­ëå ¯à®áâà ­áâ¢. 1) Rn; 2) C[a; b]; 3) l1.

⢥ত¥­¨¥ 2. l1 ¯®«­®.

®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn í«¥-

¬¥­â®¢ l , xn = ( (n))k N ¨ (xn; xm) ! 0. ¬¥¥¬

1 k 2

k áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¢¥é¥á⢥­­®¥ ç¨á«® k, çâ® k(n) ! k, ¯à¨ç¥¬ j kj 6 C.

®«®¦¨¬ y = ( 1; 2; :::) 2 l1. ¬ ¨§¢¥áâ­®, çâ® ¤«ï «î¡®£® " > 0 áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ N, çâ®

¥à¥å®¤ï ¢ ­¥à ¢¥­á⢥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯® n ! 1, ¯®«ã稬 j k ; k(m)j 6 ", 8m > N.âáî¤ á«¥¤ã¥â ky ; xmk ! 0.

17

x4. ®¯®«­¥­¨¥

1. ãáâì (X; ) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

⢥ত¥­¨¥ 1. j (x; y) ; (x0; y0)j 6 (x; x0) + (y; y0).

⢥ত¥­¨¥ 2. ᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠fxng, fyng { äã­¤ ¬¥­â «ì­ë, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« limn!1 (xn; yn).

®ª § ⥫ìá⢮. j (xn; yn) ; (xm; ym)j 6 (xn; xm) + (yn; ym) ! 0.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠fxng, fyng íª¢¨¢ «¥­â­ë ¨ ¯¨á âì fxng fyng, ¥á«¨ limn!1 (xn; yn) = 0.

⢥ত¥­¨¥ 3. ⭮襭¨¥ ï¥âáï ®â­®è¥­¨¥¬ íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨.

ãáâì x^ = ffxngn2N g { ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­ëå äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¯®á«¥¤®¢ -

^ ^

⥫쭮á⥩. ¢¥¤¥¬ ­ ¬­®¦¥á⢥ X â ª¨å ª« áᮢ, X = fx^g, äã­ªæ¨î ^.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. ãáâì fxng { ª ª®©-â® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ª« áá x^, fyng { ª« áá y^. ®£¤

^(^x; y^) = lim (xn; yn):

n!1

⢥ত¥­¨¥ 4 (ª®à४⭮áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï). ᫨ fxng fx0ng ¨ fyng fyn0 g, â® lim (xn; yn) = lim (x0n; yn0 ).

®ª § ⥫ìá⢮. § ã⢥ত¥­¨ï 1.

⢥ত¥­¨¥ 5. ( ^ ^) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

X;

®ª § ⥫ìá⢮. á­®, çâ® ^(^x; y^) > 0. ஢¥à¨¬ ᢮©á⢠à ááâ®ï­¨ï. 1)

^(^x; y^) = 0 () lim (xn; yn) = 0 () fxng fyng:

2) ^(^x; y^) = ^(^y; x^) { ®ç¥¢¨¤­®.

3) ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠fxng, fyng, fzng { äã­¤ ¬¥­â «ì­ë. ¥à¥å®¤ï ¢ ­¥à ¢¥­á⢥ âà¥ã£®«ì­¨ª (xn; zn) 6 (xn; yn) + (yn; zn) ª ¯à¥¤¥«ã ¯® n, ¯®«ãç ¥¬ ^(^x; z^) 6 ^(^x; y^) + ^(^y; z^).

¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ : ^, ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥­âã

2. j X ! X

x 2 X ª« áá ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, á室ïé¨åáï ª í⮬ã í«¥¬¥­âã,

j(x) = x^ = ffxng : xn ! xg:

¬¥ç ­¨¥. j(x) 6= ;, ­ ¯à¨¬¥à, xn x.

⢥ত¥­¨¥ 6. ^(j(x); j(y)) = (x; y) 8x; y 2 X.

®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ xn ! x ¨ yn ! y, â® (xn; yn) ! (x; y).

㤥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¨ ( ) ^ (®­¨ ¨§®¬¥âà¨ç­ë).

X j X X

⢥ত¥­¨¥ 7. ( ) ¯«®â­® ¢ ^. j X X

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì 0, ^ ^, n ^. ãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ,

" > x 2 X fx g 2 x N

çâ® (xn; xm) < " ¯à¨ ¢á¥å n; m > N. ਠ䨪á¨à®¢ ­­®¬ n ¯®«ãç ¥¬

^(j(x ) x^) = lim (x x ) 6 "

18

⢥ত¥­¨¥ 8. ( ^ ^) ¯®«­®.

X;

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fx^ng â ª®¢ , çâ® ^(^xn; x^m) ! 0 ¯à¨ n; m ! 1. ਠª ¦¤®¬ n áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï yn 2 X, çâ® ^(j(yn); x^n) < 1=n. «¥¤®¢ ⥫쭮, (yn; ym) ! 0 ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fyng äã­¤ ¬¥­â «ì- ­ . ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ y^ ª« áá ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, íª¢¨¢ «¥­â­ëå fyng. ®£¤

ªà®¬¥ ⮣®, ^ jX .

®¤¢¥¤¥¬ ¨â®£ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯®áâ஥­¨©.

¥®à¥¬ 1. ¢á类£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¯®«­¥­¨¥.¬¥ç ­¨¥. ®¯®«­¥­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­® á â®ç­®áâìî ¤® ¨§®¬¥âਨ.

3. ਬ¥àë.

⢥ত¥­¨¥ 9. ¯à®áâà ­á⢥ C [;1; 1] ä㭪樮­ «

kfk1 = Z 1 jf(t)jdt

;1

ï¥âáï ­®à¬®©.

⢥ত¥­¨¥ 10. à®áâà ­á⢮ C [;1; 1] á ­®à¬®© k:k1 ­¥ ¯®«­®.®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権

¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® kfn ; fmk = jn;1 ; m;1j ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ffng äã­¤ -

1=p

¨­â¥£à « R;11 jf(t)jpdt á ­®à¬®© kfkLp = Rab jf(t)jpdt .

¯à ¦­¥­¨¥. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ E { «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮,

â® ¥£® ¯®¯®«­¥­¨¥ ^ ï¥âáï ¡ ­ 客ë¬.

E

19

« ¢ III. ⤥«¨¬®áâì ¨ ª®¬¯ ªâ­®áâì

x1. ªá¨®¬ë ®â¤¥«¨¬®áâ¨

1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. (X; ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ T1, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå à §- «¨ç­ëå â®ç¥ª x, y áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì Ox â®çª¨ x, ­¥ ᮤ¥à¦ é ï y.

⢥ত¥­¨¥ 1. ᫨ X 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ T1, â®

1)®¤­®â®ç¥ç­ë¥ ¬­®¦¥á⢠fxg § ¬ª­ãâë;

2)ª®­¥ç­ë¥ ¬­®¦¥á⢠fx1; :::; xng § ¬ª­ãâë.

®ª § ⥫ìá⢮. 1) «ï ¢á类© â®çª¨ y 2 X n fxg áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì Oy X n fxg, á«¥¤®¢ ⥫쭮 X n fxg ®âªàëâ®;

2) ®ç¥¢¨¤­®.

ਬ¥àë. 1) ãáâì X = fa; bg, = f;; fbg; Xg. ®¯®«®£¨ï, ­® ­¥ T1. 2) ãáâì X = R, = f(c; 1)g. ®¯®«®£¨ï, ­® ­¥ T1.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. (X; ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ T2 (å ã᤮à䮢® ¯à®áâà ­- á⢮), ¥á«¨ ã «î¡ëå ¤¢ãå à §«¨ç­ëå â®ç¥ª x, y áãé¥áâ¢ãîâ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®ªà¥áâ­®á⨠Ox, Oy.

¬¥ç ­¨¥. Felix Hausdor , 1868 { 1942.

⢥ত¥­¨¥ 2. T2 =) T1.

⢥ত¥­¨¥ 3. ᫨ X ¨ Y { å ã᤮àä®¢ë ¯à®áâà ­á⢠, â® ¨å ¯à®¨§¢¥- ¤¥­¨¥ Z = X Y ⮦¥ å ã᤮à䮢®.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (x1; y1) = z1 6= z2 = (x2; y2). ¥ ®£à ­¨ç¨¢ ï ®¡é­®- áâ¨, ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® x1 6= x2. ãé¥áâ¢ãîâ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®ªà¥áâ­®á⨠Ok â®ç¥ª xk ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X, k = 1; 2. ®£¤ Vk = Ok Y { ®ªà¥áâ­®á⨠â®ç¥ª zk ¢ Z ¨ V1 \ V2 = ;.

ਬ¥àë. 1) «î¡®¬ ¡¥áª®­¥ç­®¬ ¬­®¦¥á⢥ ⮯®«®£¨ï à¨á᪮£® 㤮¢«¥- ⢮àï¥â ªá¨®¬¥ T1 ¨ ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â T2.

2)àï¬ ï á ¤¢®©­ë¬ ­ã«¥¬.

2.ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. (X; ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ T3, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå § ¬ª­ãâ®- £® ¬­®¦¥á⢠F ¨ â®çª¨ x 62F áãé¥áâ¢ãîâ ®ªà¥áâ­®áâì Ox â®çª¨ x ¨ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ G, â ª¨¥ çâ® F G ¨ Ox \ G = ;. à®áâà ­á⢮, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ªá¨®¬ ¬ T1 ¨ T3 ­ §ë¢ ¥âáï ॣã«ïà­ë¬.

⢥ত¥­¨¥ 4. ᫨ ¯à®áâà ­á⢮ ॣã«ïà­®, â® ®­® å ã᤮à䮢®.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4. (X; ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ T4, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå ­¥- ¯¥à¥á¥ª îé¨åáï § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥á⢠F1 ¨ F2 áãé¥áâ¢ãîâ ®âªàëâë¥ ­¥¯¥à¥- ᥪ î騥áï ¬­®¦¥á⢠G1 ¨ G2, â ª¨¥ çâ® F1 G1, F2 G2. à®áâà ­á⢮,

㤮¢«¥â¢®àïî饥 ªá¨®¬ ¬ T ¨ T ­ §ë¢ ¥âáï ­®à¬ «ì­ë¬.

20

⢥ত¥­¨¥ 5. ᫨ ¯à®áâà ­á⢮ ­®à¬ «ì­®, â® ®­® ॣã«ïà­®.

ਬ¥àë. 1) "¯à®áâà ­á⢥ ᫨¯è¨åáï â®ç¥ª" á ⮯®«®£¨¥© = f;; Xg ¢ë- ¯®«­¥­ë ªá¨®¬ë T3 ¨ T4, ­® ­¥â T1 ¨ T2.

2) ¨áªà¥â­ ï ⮯®«®£¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ªá¨®¬ ¬.

3) ãáâì X = R, { ®¡ëç­ ï ⮯®«®£¨ï ­ ¯àאַ©. ãáâì F = f1=ngn2N .

®â¤¥«¨¬ë.

¯à ¦­¥­¨ï.

1) ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à®áâà ­á⢮ X å ã᤮à䮢® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X X "¤¨ £®­ «ì" (â.¥. ¬­®¦¥á⢮ f(x; x)g) § ¬ª­ãâ .

2) ¢¥¤¥¬ ­ ¬­®¦¥á⢥ [0; 1] ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠x y () x;y 2 Q. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à®áâà ­á⢮ ([0; 1]= ) ­¥ å ã᤮à䮢®.

3) ®ª ¦¨â¥, çâ® ¢á类¥ ॣã«ïà­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á® áç¥â- ­®© ¡ §®© ­®à¬ «ì­® (⥮६ ¨å®­®¢ ).

x2. ®à¬ «ì­ë¥ ¯à®áâà ­áâ¢

1. ãáâì (X; ) { ­®à¬ «ì­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

⢥ত¥­¨¥ 1. ᫨ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ F ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ®âªàë⮬ ¬­®¦¥á⢥ U, F U, â® áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ G, â ª®¥ çâ®

F G, G U.

®ª § ⥫ìá⢮. ®«®¦¨¬ F1 = F, F2 = X n U. ãé¥áâ¢ãîâ G1; G2 2 , ¤«ï ª®â®àëå F1 G1, F2 G2 ¨ G1 \ G2 = ;. ª ç¥á⢥ G ¬®¦­® ¢§ïâì G1.

¥®à¥¬ 1 ( àëá®­). ãáâì X { ­®à¬ «ì­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, A ¨ B { ­¥¯¥- à¥á¥ª î騥áï § ¬ª­ãâë¥ ¬­®¦¥á⢠. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ª- æ¨ï f 2 C(X; [0; 1]), â ª ï çâ® f jA= 0, f jB= 1.

®ª § ⥫ìá⢮. ¥à¢ë© è £. áᬮâਬ ­ ®â१ª¥ [0; 1] ç¨á« ¢¨¤ r = 2;nk, £¤¥ n = 0; 1; 2; :::; k = 0; 1; :::; 2n. ®ª ¦¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ᥬ¥©á⢮

®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠G(r), ®¡« ¤ îé¨å á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨: A G(0); G(r) G(r0) ¯à¨ r < r0; X n B = G(1). ®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤¥¬ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® n. § n = 0. ¤¥áì r = 0 ¨«¨ r = 1.

®«®¦¨¬ ¥é¥ G(r) = ; ¯à¨ r < 0, G(r) = X ¯à¨ r > 1.

â®à®© è £. ®«®¦¨¬ f(x) = supfr : x 62G(r)g. ᫨ x 2 A, â® x 2 G(0) ¨ f(x) = 0. ᫨ x 2 B, â® x 62G(1) ¨ f(x) = 1. áâ ¥âáï ¤®ª § âì