3 семестp / Методы / Электpостатика / Elektrostatika
.pdf
21
W = |
1 |
q ϕ |
+ |
1 qϕ |
= |
|
W |
|
|
|
+ |
W |
+ |
|
|
|
W= |
|
|
+q12 |
+ q22 |
W |
вз . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Откуда: |
2 1 |
1 |
2 2 |
2 |
|
|
|
|
1собств |
|
|
2 собств |
|
|
|
|
вз |
|
2C1 |
2C2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
= |
1 |
q |
|
ϕ |
− |
q1 |
+ |
q |
ϕ |
− |
|
|
q2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
вз |
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
||||
Задача 5.2: Определить энергию плоского конденсатора емкостью С, если раз-
ность потенциалов между обкладками ∆ϕ .
Решение. Если предположить, что заряженными телами являются две большие параллельные металлические пластины, заряженные зарядом противоположного знака q и –q, расстояние между которыми равно d, то получим для полной энергии:
|
|
|
|
W |
= |
1 |
q(ϕ 1 − |
ϕ 2 ) = |
1 |
q∆ ϕ . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Эта энергия является энергией плоского заряженного конденсатора W, емкость |
|||||||||||||||||
которого: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|
q |
|
= |
σ S |
= |
ε |
0S |
, откуда W = |
q2 |
|
C∆ϕ |
2 |
||||
|
|
|
σ d |
|
|
|
|
= |
|
. |
|||||||
(ϕ 1 |
−ϕ |
2 ) |
|
|
d |
|
|
||||||||||
ε |
|
2C |
2 |
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При выводе предыдущей формулы использовалось выражение для напряженности электрического поля между обкладками конденсатора
E = σ /εε 0 = (ϕ 1-ϕ 2)/d.
Задача 5.3: Определим объемную плотность электрической энергии плоского конденсатора заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
ε , площадью обкладок равной S и расстоянием между обкладками равной d.
Решение. Емкость такого конденсатора равна C = |
|
εε 0 S |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
Откуда: |
C (ϕ |
|
2 ) 2 |
|
|
0 S ( Ed) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −ϕ |
|
εε |
εε 0 E |
2 Sd |
εε 0 E2 |
|
DE |
V wV . |
|||||||
W = |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
|
|
=V |
|
= |
|
|
2 |
|
|
2d |
2 |
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где V – объем между обкладками конденсатора, заполненный однородным электрическим полем, w – объемная плотность энергии электрического поля.
|
εε |
0 E2 |
DE |
D2 |
, |
w = |
|
2 = |
2 = |
|
|
|
2εε 0 |
22
! !
где D = εε 0 E – вектор электрического смещения.
Используя понятие объемной плотности энергии w, можно записать полную энергию электрического поля для произвольной системы зарядов:
Wполн = ∫∫∫ wdV= |
∫∫∫ εε 0E2 |
dV. |
|
V |
V |
2 |
|
Таким образом, полная энергия электрического поля всегда положительна. Необходимо отметить, что энергия электрического поля точечного заряда, равна бесконечности. Поэтому, точечный заряд необходимо представлять в виде заряженного тела.
Покажем, что для рассмотренного выше примера 1, для двух заряженных с зарядами q1 и q2, сумма их собственных энергий всегда больше их энергии взаимодействия.
! ! !
E = E1 + E2
где E - поле, создаваемое обоими телами, E1 - первым и E2 - вторым телом. |
||||||||||||||
|
|
εε |
|
$ |
! |
|
εε |
|
(E )2 |
|
εε |
|
(E )2 |
|
Wполн = ∫∫∫ |
|
(E + |
E )2 |
∫∫∫ |
|
dV + ∫∫∫ |
|
dV + |
||||||
|
0 |
1 |
2 dV = |
|
0 |
1 |
|
0 |
2 |
|||||
|
V |
|
|
2 |
|
V |
|
|
2 |
V |
|
|
2 |
|
∫∫∫εε |
$ ! |
|
|
W1собств+ W2собств+ Wвз |
|
|
|
|
|
|||||
0 (E1E2 )dV = |
|
|
|
|
|
|||||||||
V
Так как, полная энергия Wполн всегда положительна, собственные энергии первого W1 и второго тела W2 также положительны, энергия взаимодействия Wвз может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Тогда при отрицательном значении Wвз справедливо соотношение:
W1собств + W2собств ≥ Wвз
При этом, если знаки взаимодействующих тел одинаковы, то энергия взаимодействия положительна, если разные, то отрицательна, при этом модуль энергии взаимодействия определяется только модулем зарядов q1 и q2. Следовательно, соотношение полной энергии взаимодействия справедливо и при положительном значении энергии взаимодействия.
23
Задача 5.4. Две одинаковые распределенные системы зарядов, собственная энергия которых равна W, полностью совместили в пространстве. Определить их энергию взаимодействия.
Решение. Очевидно, что в каждой точке пространства электрическое поле удвоится. Следовательно, полная энергия возрастет в четыре раза. Откуда:
Wвз = Wполн – Wсобств= 4W – 2W = 2W.
Список литературы.
1.Сивухин Д.В. Курс общей физики. Том III. М. Наука, 1977-1979.
2.Савельев И.В. Курс общей физики. Том II.:Наука, 1978-1986.
3.Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. М.: Высшая школа, 1991.