Электростатика.
Электростатика изучает неподвижные электрические заряды. Заряд электрона: Кл = ед. cyst зар. Масса электрона: кг. Радиус электрона: см. Заряд протона: Кл. Масса протона: кг. Радиус протона: см.
З
;
;
;
;
;
или
.
– Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума.
– Сила взаимодействия зарядов.
, при кл, м, ;
1 дн = 1 (г·см)/с2 ; 1 Н ((кг·м)/с2) = 105 дн.
Точечный заряд – это заряженное тело, размерами которого можно пренебречь.
; – объёмная плотность заряда. .
– поверхностная плотность заряда. .
– линейная плотность заряда. .
Напряжённость электрического поля.
Пространство, окружающее электрический заряд – электрическое поле.
– заряд; – пробный заряд. , .
– сила, действующая на пробный заряд в этой точке – напряжённость.
Напряжённость – сила, действующая на пробный заряд. Это силовая характеристика. .
Принцип суперпозиции.
; .
Напряжённость электрического поля протяжённых макроскопических тел.
.
Для объёмного тела: .
Для плоскости: .
Для кривой линии: .
Электрические силовые линии.
Электрическое поле – материальная среда, неоднородность, возникающая в физическом вакууме. Из-за этих неоднородностей и возникают электрические силы. Силовые линии – направление сил, действующих на пробный заряд.
Поток напряжённости электрического поля.
Потоком напряжённости электрического поля через площадку называется число силовых линий, прошедших через площадку. . . .
Задача: Кольцо ; ; – ? в точке на оси z.
. Проекции на оси и компенсируют друг друга. Остаётся только проекция на ось : .
– кольцо.
При : , то есть кольцо ведёт себя как точечный заряд.
Задача: Найти силу взаимодействия нити и кольца (нить проходит через кольцо).
. . .
.
Задача: стержень длиной , имеет заряд. Найти . – расстояние до стержня.
.
.
Индукция электрического поля.
Обозначается . В вакууме . Вектор индукции касателен силовым линиям.
– поток вектора через поверхность .
Тензоры электрического поля.
Скалярное поле – каждой точке пространства определяется конкретное число. Векторное поле – каждой точке пространства определяется три числа (три компонента), что задаёт направление. ; ; ; .
Поле тензоров второго ранга: , (9 компонентов).
Поле тензоров третьего ранга: , . (27 компонентов).
Тензор -го ранга имеет компонентов. Скаляр и вектор тоже тензоры.
Дифференцирование тензоров электрического поля.
– оператор набла. . . .
.
Примеры: ; . ; .
Дифференцирование векторных полей.
– дивергенция.
(ротор) .
Теорема Гаусса в электростатике.
– поле. S – замкнутая поверхность. – полный поток векторного поля через любую замкнутую поверхность. Например: .
. – полный поток через сферическую поверхность.
Теорема Гаусса в интегральном виде.
Если заряд распределён внутри поверхности, то , и . . – теорема Гаусса в дифференциальном виде.
=> . – теорема Гаусса для индукции, где . ; ; .
– теорема Гаусса для индукции в дифференциальном виде.
Металлы в электростатике.
В металлах есть свободные электрические заряды; в диэлектриках все электрические заряды связаны между собой. Внутри металла всегда Е = 0 в результате поляризации (заряды выстраиваются в определённом порядке). – тангенциальная составляющая на поверхности металла; так как заряд не двигается.
–площадь поперечного сечения цилиндра,. – площадь цилиндра.
; ; ;
; , . . .
Задача: заряженная плоскость. Найти и в т. А. Возьмём цилиндр и точка А будет лежать на основании этого цилиндра. S – площадь основания цилиндра. . Для боковой поверхности цилиндра, так как , , но из-за симметрии , и поэтому – для любой точки независимо от расстояния от плоскости. .
Задача: дана сфера: , и – полный заряд. Найти и в произвольной точке на расстоянии от центра сферы.
: .
, – сфера действует как точечный заряд.
: – внутри заряженной сферы.
Задача: даны 3 сферы.
: ;
: ;
: ;
: .
Задача: найти заряженной нити на расстоянии . Строим цилиндр и точка А будет находится на его боковой стороне. . Индукция и напряжённость остаются только от боковой стороны, так как на основаниях они .
; , .
Задача: найти и заряженного цилиндра длины: и .
: – внутри цилиндра поля нет;
: ;
, – как для нити.
Задача: найти и на расстоянии от заряженного шара: , .
: , , .
: , .
Конденсатор.
Плоский: вне конденсатора электрическое поле равно нулю (компенсируется двумя пластинами). Внутри конденсатора: , .
Ц илиндрический: вне пластин . При ,
Работа электрического поля. Потенциал.
, .
– разность потенциалов.
Физический смысл разности потенциалов – равен работе по перемещению единичного электрического заряда между двумя положениями.
. Обычно принимает, что на потенциал равен нулю, поэтому можно говорить, что потенциал в данной точке – это работа по перемещению единичного электрического заряда на : .
Потенциал – энергетическая характеристика электрического поля. .
При : и при будет . . .
Потенциал точечного заряда.
Р абота в электрическом поле не зависит от формы траектории. .
. . .
Если имеется заряженное тело, то .
Если заряды распределены по поверхности, то .
Если заряды распределены по линии, то .
Если перемещение равно 0, то есть по замкнутому контуру, то – циркуляция вектора напряжённости по замкнутому контуру равна нулю.
Если в поле работа не зависит от формы пути, то это поле потенциальное.
Если а поле циркуляция по любому контуру равна 0, то поле безвихревое. Электрическое поле является и потенциальным и безвихревым.
Вихре электрическое поле – ротор.
; ; .
– теорема Остроградского-Гаусса.
– теорема Стокса, где – поверхность, натянутая на линию .
. , , , – основные уравнения электростатики. Так как или . – оператор Лапласа .
.
– уравнение Лапласа.
Задача: дана сфера , , . Найти потенциал на расстоянии от сферы.
: ;
: .
Задача: даны две сферы (одна в другой): и , и причём .
: ;
: ;
: .
Задача: дан шар , . Найти потенциал в точке на расстоянии от центра шара.
: ;
: .
Потенциал сферического конденсатора.
: ;
: ;
: .
,
, где .
Потенциал бесконечной плоскости.
, так как .
Потенциал плоского конденсатора.
, .
Потенциал вблизи заряженного цилиндра.
: ;
: .
Потенциал между обкладками цилиндрического конденсатора.
, где
, и .
Ёмкость конденсатора.
Для единичного проводника . Чем больше ёмкость, тем больше содержится зарядов на проводнике.
Для плоского конденсатора: .
Для любого конденсатора: .
Электрическое поле диполя.
– длина диполя. – очень близко. – дипольный момент. . Согласно принципу суперпозиции: , где
, , .
.
,
, .
Частный случаи: 1) при ;
2) при .
Электрическое поле в веществе.
Молекулы вещества экранируют заряды и поэтому сила их взаимодействия уменьшается. Внутри диэлектрика электрическое поле уменьшается в раз, но не до нуля. Для вакуума . .
Диэлектрик – это вещество, в котором имеются связанные электрические заряды (отрицательные и положительные заряды не могут отойти друг от друга далеко). Под воздействием электрического поля у электрически нейтральных молекул в обычном состоянии, возникает дипольный момент , где – поляризуемость молекулы.
– поляризация – дипольный момент единицы объёма вещества.
, где , – восприимчивость, характеризует поляризацию и . Если заряды распределены непрерывно, то , так как .
Задача: поле внутри плоского конденсатора. Между обкладками конденсатора находится вещество. При наложении электрического поля частицы вещества принимают определённое положение в пространстве в соответствии с этим полем. Образуется – плотность связанных зарядов с внутренней стороны обкладок и – полный связанный заряд. – плотность свободных зарядов. , где – площадь пластин. – теорема Гаусса для поляризации. Полный поток вектора поляризации через замкнутую поверхность равно сумме силовых линий поляризации. , где .
– дифференциальная форма теоремы Гаусса для поляризации.
Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в веществе.
В веществе присутствуют свободные заряды (как в вакууме), так и
связанные заряды за счёт поляризации вещества. . – для индукции в вакууме. – индукция электрического поля в веществе.
– теорема Гаусса для вещества.
Полный поток через любую замкнутую поверхность равен числу свободных электрических зарядов внутри этой поверхности. полный поток силовых линий вектора индукции зависит только от количества свободных зарядов. . .
Работа в электрическом поле.
; ; ; .
Фундаментальные соотношения для электрического поля.
Интегральные соотношения: ; ; .
Дифференц. соотношения: ; ; .
; , где – относительная диэлектрическая проницаемость среды. .
– это характеристика, которая показывает во сколько раз сила Кулона в веществе меньше, чем в вакууме: .
Граничные условия:
Задачи электростатики в веществе.
№1: точечный заряд .
; . – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.
, так как .
№2: заряженная сфера радиуса с зарядом :
, когда .
, когда ;
, когда .
№3: сферический конденсатор. Заряд внешней сферы , заряд внутренней сферы ; .
, .
№4: цилиндрический конденсатор и заряженная нить: Для нити и вне цилиндра: , , где .
Для конденсатора: , где и ; .
№5: поле и потенциал внутри плоского конденсатора:
; ; ; .
Если в конденсаторе есть вещество, то его ёмкость возрастает в раз.
№6: поле и потенциал диполя:
, .
В частном случае на оси диполя: .
Энергия заряженного поля.
– для двух точечных зарядов. .
– для множества точечных зарядов.
Энергия заряженного проводника.
; ; .
.
Энергия заряженного конденсатора.
; . .
Энергия протяжённых электрических систем.
. – плотность энергии. ; .
Задача: энергия заряженного диэлектрического шара.
.
.
, где .
Постоянное магнитное поле – магнитостатика.
Опыт Эрстеда: Эрстед сделал вывод: магнетизм имеет электрическую природу.
Молекулярные магнитные токи (гипотеза Ампера).
В магните есть молекулы, представляющие собой маленькие проводники. Внутри магнита ток между этими молекулами компенсируется и ток течёт только по поверхности магнита (как у соленоида), образуя магнитное поле.
Магнитные силовые линии у магнита и у соленоида одинаковы. Направление силовых магнитных линий определяется по правилу Буравчика.
Магнитное поле создаётся движущимися электрическими зарядами.
Постоянное магнитное поле соответствует движению с постоянной скоростью.
Основные законы магнетизма.
Проводник в магнитном поле (опыт Ампера). – закон Ампера. Сила магнитного поля при движении проводника с током в магнитном поле. – индукция магнитного поля; – длина проводника в магнитном поле; – сила тока.
Если , то . , .
В системе индукция – , и .
Напряжённость магнитного поля.
. . .
В системе . . Индукция в Гс численно равна напряжённости в Э. У сверхпроводников Тл.
Закон Био – Савара – Лапласа.
. .
Принцип суперпозиции: .
Магнитное поле кругового тока.
. .
– в центре кругового тока.
Магнитное поле в центре диска.
Дано . . .
.
Поле прямого тока.
; . . При : . .
Теорема о циркуляции для магнитного поля.
. . – теорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля. циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по любому замкнутому контуру равна сумме токов, проходящих через эту замкнутую поверхность.
.
– поток магнитной индукции – число силовых линий, проходящих через замкнутую поверхность. Магнитные заряды разделить невозможно. Не существует свободных магнитных зарядов. Все магнитные силовые линии замкнуты.
Основные законы магнитостатики.
– интегральные соотношения, где .
; ; . Применяя теорему Стокса получим – дифференциальные уравнения.
Магнитный момент.
– магнитный момент. .
Магнитный момент кругового тока.
.
; ; .
Магнитное поле внутри магнитного момента.
. .
.
Если (), то этот атом парамагнитный (Fe, Co, Ni, O).
Если , то атом диамагнитный (полный поток в атоме равен нулю).
У диамагнитных материалов нет магнитных свойств. У парамагнитных материалов проявляются магнитные свойства, если магнитные моменты всех атомов направлены в одну сторону.
Взаимодействие токов друг с другом.
Пондероматорные эффекты – движение проводников в магнитном поле. – механический момент. ; . – площадь рамки. или .
Индукция магнитного поля численно равна механическому моменту, действующему на единичный магнитный момент. ; .
Работа проводника с током в магнитном поле.
, ; , . .
– изменение магнитного потока при движении проводника. . В : ; .
Законы постоянного тока.
; , где – внутреннее сопротивление источника тока.
– сопротивление (потери энергии в проводнике. – удельное сопротивление.
– поперечное сечение проводника. – удельная электропроводность (проводимость).
– интегральная форма закона Ома для участка цепи.
; ; – дифференциальная форма закона Ома для данной точки. Движение электрических зарядов в электрических и магнитных полях.
; ; ; – сила Лоренца.
В магнитном поле частица движется по окружности под действием силы Лоренца. – радиус этой окружности. Масспектрометр измеряет . Циклотрон – в нём влетающие частицы движутся по окружности.
Азотрон – труба помещена в магнитное поле; разгоняет частицы с помощью электрического поля. , где – частота обращения частиц в трубе и частота изменения заряда ускоряющих пластин. , где .
"Токамак" – для создания термоядерной реакции. Длительность подвода электромагнитного излучения . Дж. Сейчас достигнуто %. При % будет происходить термоядерная реакция – получение энергии.